Demonstration de limite d'une somme.

[Anonyme]

Bonsoir,

J'ai un petit probleme:

Comment pourais je demontrer que :

lim(x->oo) S(i=2->n) de 1/(n^2) = 1 ????

Le probleme est un autre en fait.

Demontrer que la suite
U_n = 1/1 + 1/(2^2) + 1/(3^2) + 1/(4^2) + ... + 1/n^2

Est majorée. ( majorée par 2 ).

Il y a t il une demonstration "simple" avec les limites? j'ai essayé et je
n'y arrive pas, et tant que personne ne me dira que c'est impossible (ou
hyper compliqué ) , je ne serai pas content :O).


Merci

Thi

[Anonyme]

Ghostux a écrit
> Demontrer que la suite
> U_n = 1/1 + 1/(2^2) + 1/(3^2) + 1/(4^2) + ... + 1/n^2
> Est majorée. ( majorée par 2 ).

Un = zêta(2) = pi² / 6
zêta est la fonction de Riemann bien connue

D'une manière générale, on montre que
zêta(a) = Somme(1/n^a) est majorée si a > 1

Il faut grouper les termes astucieusement en
utilisant le fait que la suite est décroissante

On laisse le premier terme tout seul.
La somme de deux suivants est inférieure à 2/2^a
La somme des 4 suivants est inférieure à 4/4^a
La somme des 8 suivants est inférieure à 8/8^a
etc.

La série est donc majorée par :
S = 1 + 2/2^a + 4/4^a + 8/8^a + ...
S = 1 + 1/2^(a-1) + 1/^(2-2a)+ 1/2^(3-3a) + ...
S = 1 + 1/2^(a-1) + [1/2^(a-1)]² + [1/2^(a-1)]³ + ...

On reconnaît une série géométrique de raison
r =1/2^(a-1) plus petite que 1 donc
S = 1/(1-r)

pour a = 2 on trouve r = 1/2 et S = 2

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Pierre Capdevila écrivait :

> On laisse le premier terme tout seul.
> La somme de deux suivants est inférieure à 2/2^a
> La somme des 4 suivants est inférieure à 4/4^a
> La somme des 8 suivants est inférieure à 8/8^a
> etc.

C'est intéressant.

Juste par curiosité, comment montre-t-on que la somme
donné par Ghostlux tend vers 1 ?

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Je ne connais pas Zeta mais merci quand meme.


"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de news:
blb7m9$a3dej$1@ID-138445.news.uni-berlin.de...
> Ghostux a écrit[color=green]
> > Demontrer que la suite
> > U_n = 1/1 + 1/(2^2) + 1/(3^2) + 1/(4^2) + ... + 1/n^2
> > Est majorée. ( majorée par 2 ).
>
> Un = zêta(2) = pi² / 6
> zêta est la fonction de Riemann bien connue
>
> D'une manière générale, on montre que
> zêta(a) = Somme(1/n^a) est majorée si a > 1
>
> Il faut grouper les termes astucieusement en
> utilisant le fait que la suite est décroissante
>
> On laisse le premier terme tout seul.
> La somme de deux suivants est inférieure à 2/2^a
> La somme des 4 suivants est inférieure à 4/4^a
> La somme des 8 suivants est inférieure à 8/8^a
> etc.
>
> La série est donc majorée par :
> S = 1 + 2/2^a + 4/4^a + 8/8^a + ...
> S = 1 + 1/2^(a-1) + 1/^(2-2a)+ 1/2^(3-3a) + ...
> S = 1 + 1/2^(a-1) + [1/2^(a-1)]² + [1/2^(a-1)]³ + ...
>
> On reconnaît une série géométrique de raison
> r =1/2^(a-1) plus petite que 1 donc
> S = 1/(1-r)
>
> pour a = 2 on trouve r = 1/2 et S = 2
>
> --
> Pierre
> pierre-capdevila@wanadoo.fr
>[/color]

[Anonyme]

Michel a écrit
> Juste par curiosité, comment montre-t-on que
> la somme donné par Ghostlux tend vers 1 ?

Elle ne tend pas vers 1 (elle aurait d'ailleurs du mal
puisque le premier terme vaut déjà 1) mais vers
zêta(2) = Somme(1/n^2) = Pi² / 6
comme je l'ai indiqué.

Je ne sais le montrer qu'en passant par les séries
de Fourier, et ce n'est pas très simple.

On sait calculer exactement les valeurs de zêta(a)
pour toutes les valeurs paires de a. Ce sont des
valeurs de la forme zêta(a) = R*Pi^a où R est un
rationnel.

Par contre on ne connaît pas d'expression simple
de zêta(a) pour a impair. Je crois qu'on ne sait même
pas si ces valeurs sont rationnelles ou non, sauf peut-
être zêta(3)

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

> Je ne sais le montrer qu'en passant par les séries
> de Fourier, et ce n'est pas très simple.

On peut le faire en commençant par écrire sin n t / (sin t)^n comme polynôme
en cotan t, on cherche les racines, on en fait la somme, puis on utilise un
encadrement de 1/t : 1/cotan t < t < 1/sin t, on met au carré, on somme et
on passe à la limite (j'ai fait l'exo hier ). Si quelqu'un veut plus de
détails je lui donnerai.

[Anonyme]

"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de
news:blciu2$apdk5$1@ID-138445.news.uni-berlin.de...
| Michel a écrit
| > Juste par curiosité, comment montre-t-on que
| > la somme donné par Ghostlux tend vers 1 ?
|
| Elle ne tend pas vers 1 (elle aurait d'ailleurs du mal
| puisque le premier terme vaut déjà 1) mais vers
| zêta(2) = Somme(1/n^2) = Pi² / 6
| comme je l'ai indiqué.
|
| Je ne sais le montrer qu'en passant par les séries
| de Fourier, et ce n'est pas très simple.


Evaluating zeta(2)
http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/rjc.html

14 preuves differentes de l'égalité zeta(2)=Pi² / 6

j_dm2



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| On sait calculer exactement les valeurs de zêta(a)
| pour toutes les valeurs paires de a. Ce sont des
| valeurs de la forme zêta(a) = R*Pi^a où R est un
| rationnel.
|
| Par contre on ne connaît pas d'expression simple
| de zêta(a) pour a impair. Je crois qu'on ne sait même
| pas si ces valeurs sont rationnelles ou non, sauf peut-
| être zêta(3)
|
| --
| Pierre
| pierre-capdevila@wanadoo.fr
|

[Aspx]

Euh une preuve peut être plus simple pour la majoration :
Soit
, d'où (je passe les justifications) : . En sommant de 1 à n-1 il vient :
d'où i.e. en faisant tendre n vers l'infini :

[fahr451]

pour moi la preuve la plus "simple" de la majoration est l'inégalité

1/k^2 < 1/k(k-1) = 1/(k-1) -1/k valable pour k>1 et sommer pour k = 2,...,n
télescopage.
Sn < 1-1/n + 1/1^2