Démonstration droites perpendiculaires

[mamouille]

Bonjour,
On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB=3cm et AC=5cm.
Soit H le pied de la hauteur issue de A et I le milieu du côté [BC].
On apelle K et L le sprojetés orthogonaux du point H respectivement sur les droites (AB) et (AC).
Le but de cet exercice est de démontrer que les droites (AI) et (KL) sont perpendiculaires.

1 ére méthode: En utilisant le produit scalaire, a) Démontrer que AI= 1/2 (AB+AC) (j'ai fait cette question)
b) Calculer le produit scalaire AI.LK, je me retrouve avec :
AI.LK= 1/2 AB.LA+ 1/2 AB.AK+1/2 AC.LA+1/2 AC.AK, 1/2 AB.LA= O et 1/2 AC.AK= 0 car ils sont perpendiculaires, je me retrouve bloqué avec le reste.


2 éme méthode: En utilisant le repère orthonormé (A;i;j) pù i= 1/3 AB et j= 1/5 AC

a) Déterminer les coordonnées des points A;B;C;I;H; K et L dans ce repère. Je ne trouve pas les coordonées du point H, il faut les connaitre pour ceux de K et L

Pouvez-vous m'aider?

[echevaux]

Bonjour

1. Pour "le reste", décompose les vecteurs AK et LA en prenant comme point intermédiaire H.

2. Equations de (BC) et de (AH) => coordonnées de H.

[mamouille]

Pour la 2), qu'est ce que vous entendez par équations? Faut-il faire le produit scalaire?

[mamouille]

Pour la 1), je me retrouve avec: AI.LK= 1/2AB.LH+ 1/2AB.HA+ 1/2AC.AH+ 1/2AC.HK, je ne vois tj pas comment faire, merci de votre aide.

[mamouille]

Je vois ce qu'il faut faire pour la 2), mais je me retrouve avec xH*a(coefficient directeur)=-5/3x+5, je ne vois pas comment résoudre, merci de votre aide!

[echevaux]

Tu as écrit :

AI.LK= 1/2 AB.LA+ 1/2 AB.AK+1/2 AC.LA+1/2 AC.AK,
1/2 AB.LA= O et 1/2 AC.AK= 0 car ils sont perpendiculaires,
je me retrouve bloqué avec le reste.
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Tu as donc AI.LK= 1/2 AB.AK+1/2 AC.LA et donc
AI.LK= 1/2 (AB.(AH+HK)+ AC.(LH+HA))
Tu développes => 4 produits scalaires dont 2 nuls et une "factorisation" pour les 2 autres.
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2. y=-5/3x+5 est une équation de (BC)
(AH) passe par l'origine A et a donc une équation de la forme y=ax
Les 2 droites étant perpendiculaires, le produit de leurs coefficients directeurs est -1 : (
-5/3a=-1 d'où a, équation de (AH) et coordonnées de H donc de K et L.

[mamouille]

D'accord, quelle propriété dit que le coefficient directeur de deux droites perpendiculaires est -1? Et pourquoi l'expression de (AH) est y= ax, et non pas y=ax+b, je n'ai pas compris votre raisonnement, merci de votre aide.

[echevaux]

Dans un repère orthonormé, les droites d'équations y=ax+b et y=cx+d sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs ac=-1 (programme de collège)

Et pourquoi l'expression de (AH) est y= ax, et non pas y=ax+b

b est l'ordonnée à l'origine = l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées. Ici, b=0.