Démonstration de l'angle d'observation d'un arc en ciel

[Zenithian]

Voilà, je me suis inscrit sur ce forum pour demander de l'aide à propos de ceci :



Démonstration mathématique : (Merci à Francis D. pour la précision de ses calculs.)

Non-matheux, vous n'êtes pas obligés de lire ce paragraphe !
Comment déterminer mathématiquement l'angle de formation des arcs-en-ciel (primaire et secondaire) ?

Arc primaire :
Angle de déviation du rayon après une réflexion dans la goutte d'eau : D = pi - (4.r - 2.i)

En dérivant par rapport à i, on peut montrer que D présente un minimum :
dD/di = 2- 4.dr/di = 2(1 - 2.dr/di)
Comme sin i = n.sin r,
on peut écrire :cos i.di = n.cos r.dr,
ou encore : dr/di = (Cos i)/(n.Cosr),
d'où : dD/di = 2(1 - 2.cos i /n.cos r).

Cette dérivée s'annule si 2.cos i = n.cos r
soit, en élevant les 2 termes au carré :
4(1-sin2i) = n2(1-sin2r)
Comme sin2i = n2.sin2r , on obtient finalement :
sin2i = (4 - n2)/3


Avec n = 1,33 (pour le rouge), la valeur qui annule la dérivée est : i = 59,6°. Pour cette incidence, la déviation D est minimale; elle vaut environ 138°, soit un angle d'observation a voisin de 42° (a = 180°-D).



J'aurai vraiment besoin d'un coup de main urgent pour comprendre d'abord comment on passe de
sin i = n.sin r à cos i.di = n.cos r.dr sachant que dr est la dérivée de r et di la dérivée de i. Mon deuxième problème est le passage en gras, celui avec les sin², auquel je ne comprend pas grand-chose.
Merci d'avance énormément si vous pouvez m'aider.

[Primperan]

Bonjour,

Pour passer de sin i = n.sin r à cos i.di = n.cosr.dr, il suffit de dériver (si deux fonctions sont égales, leurs dérivées sont forcément égales). Et en dérivant sin(f(x)) on obtient f'(x)*cos(f(x)).

Dans le passage en gras, on élève au carré les deux termes de l'égalité 2.cos i = n.cos r. On obtient donc 4cos²i = n²cos²r. Comme cos²x + sin²x = 1, on remplace cos²i par (1-sin²i) et cos²r par (1-sin²r). Ensuite, on remplace sin²r par (sin²i)/n²

[Zenithian]

Super merci beaucoup :we: ! Je vais relire tout ça pour être sur d'avoir compris, mais je pense que c'est bon.

[Primperan]

De rien :) n'hésite pas si tu bloques encore !

[Zenithian]

Je ne voudrais pas abuser, mais si c'est proposé, comment fait-on la transition entre
4(1-sin2i) = n2(1-sin2r) et sin2i = (4 - n2)/3 avec sin2i = n2.sin2r ?

[Primperan]

Haha :)

Eh bien, tu sais que sin²i = n²sin²r, donc sin²r = (sin²i)/n². Tu peux alors remplacer sin²r par (sin²i)/n² dans l'équation 4(1-sin²i) = n²(1-sin²r), et en développant ça fait 4 - 4sin²i = n²-sin²i

[Zenithian]

Et ainsi r disparait, ne reste que l'angle d'incidence i dans le calcul, et l'indice de réfraction n qui est donné. Superbe. J'ai tout compris à présent, mais pour refaire le calcul pour n=1.33, comme ceci, comment fait-on pour passer le sin² de l'autre coté pour avoir i (soit 59.6)° ?
sin²i = (4 - 1.33²)/3

Et ils trouvent 138° de déviation, pour cela ils on utilisé Descartes pour trouver r et l'inclure dans D ?

[Primperan]

Tu ne peux pas "passer le sinus de l'autre côté" comme tu dis, mais n'oublie pas que le sinus a une fonction réciproque

[Zenithian]

Ce qui nous donne du 59.58491695...° soit 59.6°
Tout est parfait, vous avez vraiment toute ma gratitude ^^

[Primperan]

J'en suis flatté ^^ et tu as bien deviné, ensuite pour trouver D il faut trouver r grâce à Descartes :)

[Zenithian]

Argh, je voudrais quand même demander une toute petite chose, si vous le permettez : la valeur 138 s'obtient comment ? Je tiens vraiment à être incollable sur cette démonstration, c'est pour un oral important ^^
PS : j'ai trouvé environs 40° pour r

[Primperan]

Ah oui ça ne donne pas le bon résultat, c'est parce que la formule D = pi - (4.r - 2.i) ne marche qu'avec des angles en radians. pi radians = 180°, donc D = 180 - (4r-2i) si tu as les valeurs des angles en degrés.

[Zenithian]

Ah oui exact ! Bon bah voilà, j'ai plus qu'à rédiger tout ça. Merci encore ! :zen:

[Primperan]

Pas de quoi et bon courage :)

[Zenithian]

Merci ^^ Dites, par simple curiosité mathématique cette fois, vous pourriez m'expliquer comment ils ont déduit l'expression de D ? Sinon ce n'est pas grave, mais j'ai vu qu'on retrouvait les 4 r et les 2 i sans savoir comment ils ont fait le lien avec D.

[Primperan]

Il faut voir ça sur le schéma. Est-ce que tu es d'accord avec le fait qu'au premier dioptre entre l'air et la goutte d'eau, ton rayon est dévié de (i-r) ? Ensuite, quand il est réfléchi sur le second dioptre, il est dévié de 180-r (en degrés), et enfin il est à nouveau dévié de (i-r) au troisième dioptre. Si l'on additionne ces trois angles de déviation, on obtient l'expression de D

[Primperan]

Par ailleurs, en vue de coupe la goutte d'eau est un cercle, donc la normale au dioptre passe par le centre du cercle. Les triangles à l'intérieur du cercle sont alors isocèles, c'est pourquoi les angles r sont toujours les mêmes.

[Zenithian]

C'est compris^^