Démo par récurrence/suites

[its_au_carre]

Bonsoir !

Alors voilà... j'ai ici une suite définie par récurrence:

- Premier terme : u;) = 3
- Relation de récurrence : u;););) = f(u;))

où f est la fonction définie sur R par f(x)=1/4(x²)+2.

Je dois montrer que, pour tout entier naturel a, u;) - u;) a.

__________________________________

Je veux montrer ça par récurrence, mais je suis bloquée à l'hérédité...
J'ai essayé d'aborder le problème de plusieurs façons, dont celle qui consiste à exprimer la conclusion en fonction de l'hypothèse, mais aucune ne marche pour l'instant... :mur:

Pouvez-vous me donner des pistes ?

Merci !

[geegee]

Bonsoir !

Alors voilà... j'ai ici une suite définie par récurrence:

- Premier terme : u;) = 3
- Relation de récurrence : u;););) = f(u;))

où f est la fonction définie sur R par f(x)=1/4(x²)+2.

Je dois montrer que, pour tout entier naturel a, u;) - u;) a.

__________________________________

Je veux montrer ça par récurrence, mais je suis bloquée à l'hérédité...
J'ai essayé d'aborder le problème de plusieurs façons, dont celle qui consiste à exprimer la conclusion en fonction de l'hypothèse, mais aucune ne marche pour l'instant... :mur:

Pouvez-vous me donner des pistes ?

Merci !

u;) - u;) a
Supponsons [B] vrai au rang n et montrons au rang n+1.
u;) - u;) a
on doit montrer que u;) -1/4(u;)²)+2;)a
1/4u;)*u;) - 1/4u;)*u;) 1/4(a*u;));)a car u;);)4

[its_au_carre]

u;) - u;) a
Supponsons [B] vrai au rang n et montrons au rang n+1.
u;) - u;) a
on doit montrer que u;) -1/4(u;)²)+2;)a
1/4u;)*u;) - 1/4u;)*u;) 1/4(a*u;));)a car u;);)4

peux-tu détailler les étapes ? j'te suis pas :doh:

[Matt_01]

J'avoue que je ne suis pas non plus ...
On suppose u(a)-u(0) >= a
On veut montrer donc que u(a+1)-u(0) >= a+1
Or u(a+1) =2 + u(a)²/4
Donc u(a+1) - u(0) = u(a)²/4 -1
Mais, on a u(a)-u(0) >= a soit u(a) >= a+3
Donc :
u(a+1)-u(0) >= (a + 3)²/4 -1 = a²/4 + 3/2 a + 9/4 -1 = a²/4 +3/2 a +5/4 >= a + 1

C'est un peu sale, il doit y avoir plus simple.
Je pense qu'étudier g : x -> f(x)-x sur [2;+inf[ serait intéressant pour être plus précis. Vois tu pourquoi ?

[its_au_carre]

J'avoue que je ne suis pas non plus ...
On suppose u(a)-u(0) >= a
On veut montrer donc que u(a+1)-u(0) >= a+1
Or u(a+1) =2 + u(a)²/4
Donc u(a+1) - u(0) = u(a)²/4 -1
Mais, on a u(a)-u(0) >= a soit u(a) >= a+3
Donc :
u(a+1)-u(0) >= (a + 3)²/4 -1 = a²/4 + 3/2 a + 9/4 -1 = a²/4 +3/2 a +5/4 >= a + 1

C'est un peu sale, il doit y avoir plus simple.
Je pense qu'étudier g : x -> f(x)-x sur [2;+inf[ serait intéressant pour être plus précis. Vois tu pourquoi ?

Salut Matt_01,

Faut-il étudier la fonction g pour avoir le signe de u;););) - u;) ? Je sais déjà que la suite est croissante grâce aux autres questions...
Je ne comprends pas :triste:

[Ana_M]

EDIT
je pense que par récurrence ça peut se faire, en étudiant un trinome du second degré...

[its_au_carre]

EDIT
je pense que par récurrence ça peut se faire, en étudiant un trinome du second degré...

Salut Ana_M,

peux-tu donner des détails ?

Merci

[Ana_M]

compare u(n+1) et n+4, en étudiant le signe de la différence, tu devrais tomber sur qc de positif ou nul !