Cosinus et sinus [ niveau 2nde ]

par **harkonen** » 25 Mai 2006, 13:04

C est un demi cercle de centre O, de diamètre [ AB ] et de rayon r .
M est le point tel que l'angle BAM a pour mesure PI/8 en radians.
on projette orthogonalement M en H sur [ AB ].

1. a) Quelle est la mesure en radians de l'angle BOM ?
b)Déduisez-en que OH = HM = r (racine carré de 2) / 2

2. a)Démontrer que AM = r (racine carré de 2 + racine carré de 2)
b) Dans le triangle rectangle AHM déduisez-en les valeurs exactes de cos PI/8 et sin PI/8

voila, je faisais cet exercice pour m'entrainer, mais pas moyen de comprendre, pouvez vous m'aider ... :help:

par **harkonen** » 25 Mai 2006, 13:23

Personne pour essayer de m'aider ? :hum: :mur:

par **julia84** » 25 Mai 2006, 13:24

Bonjour
Je te donne des indications.
Je suppose que tu as fais le dessin.

1.a) Règle à connaitre : un angle au sommet (qui intercepte un arc MB) a pour valeur la moitié de l'angle au centre (dont le sommet est le centre du cercle) qui intercepte cet arc.

1.b) Tu calcules cos BOM et sin BOM.
Puis cos BOM=(côté adjacent)/(hypoténuse)
sin BOM=(côté opposé)/(hypoténuse)

2.a) Théorème de pythagore sur le triangle rectangle AHM.

2.b) cos pi/8 = cos BAM = (adjacent)/(hypoténuse)
sin pi/8 = sin BAM = (opposé)/(hypoténuse)

Bonne chance

par **harkonen** » 25 Mai 2006, 13:32

ok, merci julia !
donc pour la 1.a) je trouve PI/4

par **Daragon geoffrey** » 25 Mai 2006, 13:36

slt
construis un repère orthnormé centré en O (centre du cercle trigo de rayon 1), alors A(-1;0) et B(1;0), de plus une équation de C est x^2 + y^2 = 1, et M(x;rac(1-x^2)), car M est localisé du côté de la partie positve de l'axe des ordonnées ! de plus H(x;0) alors ds le triangle HAM rectangle en H, la trigo nous donne cos(pi/8)=AH/AM, avec AH=x+1 et AM=rac(2(x+1)) donc cos(pi/8)=rac[(x+1)/2] équiv à x=cos(pi/4) (aprè résolution), donc M(cos(pi/4);sin(pi/4)) et H(cos(pi/4);0), puis ds OHM rectangle en H, la trigo donne : cos(u)=cos(pi/4),avec u l'angle HOM, donc par définition u=pi/4 (en rad) d'où BOM=pi-pi/4=3pi/4=135° !

par **Daragon geoffrey** » 25 Mai 2006, 13:38

dsl julia84 j'né pas vu que tu avé répondu @ +

par **Daragon geoffrey** » 25 Mai 2006, 13:47

reslt
pour la question suivante travaille ds le triangle HAM rectangle en H, alors par le th de pyhagore AM=rac[2(x+1)] avec x l'abcisse de M et donc x=cos(pi/4) dqui est une valeur remarquable : cos(pi/4)=rac(2)/2, on a bien AM=rac[2(rac(2)/2 + 1)]=... !
puis pour trouver les valeurs exactes de cos(pi/8) et de sin(pi/8) tu utilises la relation donnée par julia84 @ +

par **julia84** » 25 Mai 2006, 13:53

Oui pour le 1.a) je trouve bien pi/4.
Pour le 1.b) il suffit de connaitre les valeurs de cos pi/4 et sin pi/4 (si tu ne te rappelles pas tu les as dans tes cours).

Je viens de voir que Daragon geoffrey te donne 3pi/4 mais c'est pas grave puisque tu sais ce que tu dois trouver dans les questions suivantes donc tu peux essayer les 2 et voir ce qui marche.

Après à priori ça roule tout seul sinon renvoies un message.

PS : il n'y a pas de problème Daragon geoffrey

par **harkonen** » 25 Mai 2006, 14:31

merci a vous 2 pour votre aide !

néanmoins , je bloque a une question ... la 2.a)

donc j'utilise le théorème de pythagore sur AHM :

AM² = AH² + HM²
AM² = AH² + (r rac 2/2)²

comment trouver AH² ?
si je repare des informations donner par Daragon geoffrey :
AM = rac 2 ( x + 1 ) ( comment arrives tu a trouver ça ? )
je trouve AM = rac 4 AM = 2
et non pas AM = r rac ( 2 + rac 2 ) comme le demande l'énoncé :marteau:

par **Daragon geoffrey** » 25 Mai 2006, 14:39

reslt H est le projeté orthogo de M sur [AB] donc par définition H a la même abcisse que M et pour ordonnée 0, donc AH=..., @ +

par **Daragon geoffrey** » 25 Mai 2006, 14:41

pour trouver ce résultat, je me place ds le repère orthonormé du plan centré en O (centre du demi cercle), et je pose M(x;rac[1-x^2]), puis j'exprime en fct de x le coordonnées de H et j'identifies x, g trouvé x=cos(pi/4), @ +

par **julia84** » 25 Mai 2006, 15:08

AH = AO+OH or tu as calculé OH déjà et AO=r (le rayon, il faut vraiment t'appuyer sur ton dessin)

HM=MH déjà calculé aussi

par **julia84** » 25 Mai 2006, 15:17

J'ai fait le calcul, ça marche sauf que ce qu'il faut trouver c'est:
AM = r*racine carré de(2+racine carrée de 2).

C'est bien ça ? (vérifie ton énoncé)

par **harkonen** » 25 Mai 2006, 15:35

erf ! je trouve AM = rac r + ( r rac 2 / 2 ) + ( r rac 2 / 2 )
je ne vois vraiment pas comment simplifier ... :triste:

par **julia84** » 25 Mai 2006, 15:47

Je ne sais pas comment tu as trouvé ça.

Voilà ce que moi j'ai fait:

OH=HM= r*rac(2)/2
donc AH=AO+OH = r+ r*rac(2)/2 = r*(1+rac(2)/2)

AMcarré = AHcarré + HMcarré
= r carré*((1+rac(2)/2) carré) + ((r*rac(2)/2) carré)
= r carré*(1+rac(2)+1/2) + (r carré)* 1/2
= r carré + (r carré)*rac(2) + (r carré)/2 + (r carré)/2
= 2*(r carré) + (r carré)*rac(2)
= (r carré)* (2+rac(2))

donc AM = r*rac(2+rac(2))

J'espère que c'est quand même lisible.

par **julia84** » 25 Mai 2006, 15:54

A propos de ce que tu as fais, il faut que tu saches que:

rac(A*B) = rac(A)*rac(B)

rac(A+B) n'est pas égal à rac(A)+rac(B) , il faut y faire très attention, c'est une erreur classique (je ne dis pas que tu l'as faite).

par **harkonen** » 25 Mai 2006, 16:14

julia84 a écrit:= r carré*((1+rac(2)/2) carré) + ((r*rac(2)/2) carré)
= r carré*(1+rac(2)+1/2) + (r carré)* 1/2

re , je comprend pas comment tu arrives a trouver que 1 + racine de 2/2 au carré = 1 + racine de 2 + 1 / 2 :briques:
merci de ton aide !

par **julia84** » 25 Mai 2006, 16:23

J'utilise la formule:
(a+b)carré = (a carré) + 2*a*b + (b carré)

Ici a=1 et b=rac(2)/2

a carré = 1

2*a*b = 2*1*rac(2)/2 = rac(2) car les 2 s'éliminent (1*2/2 = 1)

b carré = (rac(2)/2)*(rac(2)/2) = ((rac(2))carré) / 4 = 2/4 = 1/2
car (rac(x))carré = x

Je détaille tout parce-que je ne sais pas où tu butes.

par **harkonen** » 25 Mai 2006, 16:43

Merci beaucoup julia, de prendre le temps de m'expliquer :++:
je pense que ca sera la dernière question ^^ :
2.b) pour COS PI/8 je trouve = r rac (2 + racine 2) / 2 r
et SIN PI/8 je trouve = r (rac 2 / 2) / 2 r
voila je voulais savoir comment peut on avoir la valeur exacte avec ça ?

par **julia84** » 25 Mai 2006, 17:40

Désolé d'avoir mis autant de temps pour te répondre.

C'est pas normal ce que tu trouves car cos pi/8 et sin pi/8 ne doivent pas dépendre de r, ce sont des valeurs fixes.

cos pi/8 = AH/AM = [r*(1+rac(2))/2] / [r*rac(2+rac(2))] et dons les r se simplifient (r/r=1)

sin pi/8 = MH/AM = [r*rac(2)/2] / [r*rac(2+rac(2))] et les r se simplifient aussi

Ensuite tu n'as plus de r mais il te reste un truc assez compliqué mais je suppose que c'est ça qu'ils te demandent en parlant de valeur exacte, essaie de le simplifier au maximum mais franchement tu peux pas faire grand chose.

Cosinus et sinus [ niveau 2nde ]

Cosinus et sinus [ niveau 2nde ]

Qui est en ligne