Cos(2 pi/5) en seconde

[mathelot]

bjr,

je voudrai calculer la valeur exacte de cos(2 pi/5).

Merçi pour votre aide.

[Clembou]

bjr,

je voudrai calculer la valeur exacte de cos(2 pi/5).

Merçi pour votre aide.

[gol_di_grosso]

ou mieux :lol3:

[La Boule]

ou mieux :lol3:

Tu as utilisé la technique du triangle de Pascal ou alors autre chose ??

[Benjamin]

Salut,

J'ai trouvé plus simple finalement :

ABC est un triangle isocèle tel que AB = AC et ABC = 2 pi / 5 rad .
La bissectrice de ABC coupe la droite ( AC ) en D. On pose BC = a

1 . Montrer que BD = AD = a .

2. Montrer que AB = 2a cos pi / 5 et que CD = 2a cos 2pi / 5 . En déduire que : cos pi/5 - cos 2pi/5 = 1/2 .

3. Montrer que BC = 4a cos pi/5 cos 2pi/5. En déduire que cos pi /5 cos 2pi/5 = 1/4.

4. On pose x = cos pi/5 et y= cos 2pi/5 : écrire le système vérifié par x et y et montrer que x est colution de l'équation (E) 4x² - 2x - 1 = 0 .

5. Calculer alors la valeur exacte de cos pi/5 et de cos 2pi / 5 .

C'est un exo que j'ai trouvé sur un forum. Ca a l'air d'être un sujet assez chaud ce genre de calculs.

[gol_di_grosso]

Tu as utilisé la technique du triangle de Pascal ou alors autre chose ??

non xcas, mais ça doit se faire assez facilement avec les complexes

[mathelot]

non xcas, mais ça doit se faire assez facilement avec les complexes

tu n'as pas vu le titre ? c'est demandé avec le programme de seconde .
sinon, c'est immédiat.

je ne vois pas comment

après , je vois bien la chose suivante:
si on connait x-y et xy , alors
on connait
d'où on connait x+y
puis x et y avec un système 2x2, ce qui évite de résoudre une équation
du second degré :++:

[Benjamin]

Alors, l'angle BAC = l'angle DBC. De plus, ABC est isocèle en A et BDC est isocèle en B donc les triangles ABC et BDC sont semblables donc tu peux utiliser la proportionnalité entre les longueurs (théorème de Thalès), soit :

AB/BC=AC/BD=BC/DC

Voilà,
A plus,

[La Boule]

tu n'as pas vu le titre ? c'est demandé avec le programme de seconde .
sinon, c'est immédiat.

Immédiat ??

Je ne pense pas qu'on partage la même définition de ce mot car d'après les techniques que j'ai pu voir sur le net pour trouver les valeurs exactes des cosinus non remarquables de la forme cos( pi/n ), ça n'a rien d'immédiat.

[mathelot]

Immédiat ??

Je ne pense pas qu'on partage la même définition de ce mot car d'après les techniques que j'ai pu voir sur le net pour trouver les valeurs exactes des cosinus non remarquables de la forme cos( pi/n ), ça n'a rien d'immédiat.

est racine de:

on divise par .
est la racine positive de:

[Clembou]

est racine de:

est la racine positive de:

Mais ça c'est pas du programme de la seconde :triste: Mathelot, c'est pour un exercice que tu nous demande ça ou c'est juste pour culture générale ?

[mathelot]

ça va , tout est ok.

Benjamin631 a trouvé une démonstration extra du
résultat, de niveau seconde, ce qui me convient parfaitement.

j'y ai rajouté une méthode qui permet d'éviter l'équation du second degré:
quand on connait x+y et xy , on passe par la résolution de deux systèmes de Cramer 2x2, ce qui rend la méthode encore plus abordable en Seconde.


merçi bien.


PS: d'ailleurs , avec ma remarque, l'équation du second degré (classe de Première) peut être résolue avec deux systèmes (classe de Seconde),
ce qui est fait dans les exercices chauds du Transmath de Nathan.

[gol_di_grosso]

tu n'as pas vu le titre ? c'est demandé avec le programme de seconde .

je répondais juste à Boule qui me demandais comment j'avais trouvé...
Je suis désolé.

[mathelot]

je répondais juste à Boule qui me demandais comment j'avais trouvé...
Je suis désolé.

moi aussi, je suis désolé. Avec mes excuses.Encore merçi.

[gol_di_grosso]

ok ;)
sinon j'ajouterais que (pour moi) c'est bien plus difficile de résoudre cet exercice comme tu l'a proposé. :lol3:

[La Boule]

est racine de:

on divise par .
est la racine positive de:

Et c'est Immédiat ça ?? Alors je réitère, nous ne partageons pas la même définition du mot immédiat.
Peut être que quand je serais dans le supérieur ça le sera pour moi mais avec mon " petit " niveau de terminale S, cela n'a rien d'évident !

[Benjamin]

Et c'est Immédiat ça ?? Alors je réitère, nous ne partageons pas la même définition du mot immédiat.
Peut être que quand je serais dans le supérieur ça le sera pour moi mais avec mon " petit " niveau de terminale S, cela n'a rien d'évident !

C'est normal que ce soit pas évident en terminal S, rassure-toi !! lol

[La Boule]

C'est normal que ce soit pas évident en terminal S, rassure-toi !! lol

C'est dêja sympa de me rassurer. Même si j'ai compris le raisonnement, le trouver " m'impressionne " quelque peu.

[chan79]

salut
je reprends une méthode analogue à une autre donnée plus haut

On trace un triangle ABC isocèle en A avec A=36° et BC=8 par exemple
La bissectrice de B coupe AC en D.
On montre que ABC est partagé en deux triangle isocèles
ABC et BCD sont semblables
d'où BC/AC=CD/BC
8/x=(x-8)/8
soit x²-8x-64=0
on trouve x=4+racine(80)
ensuite on calcule le cosinus de 72°: 4/x

[mathelot]

Bonsoir,

Pour les kids de Seconde qui voudraient calculer la valeur exacte de , voilà un énoncé à leur portée:


1) Tracer un triangle ABC de coté BC=2 cm et d'angles °
2) La bissectrice intérieure de coupe [A;C] en D.
Calculer la mesure de tous les angles du dessin.

3) On pose x=AB. à l'aide de triangles semblables, montrer que x est solution
de l'équation


4) en écrivant:

transformer l'équation d'inconnue x et la résoudre.

5) La longueur AB étant connue, en déduire les valeurs exactes
de ° et °.

De plus, si on décalque le triangle BCD et qu'on le colle sur le triangle BAC,
c'est faisable en classe de Troisième avec Thalès.

Le seul problème restant, c'est que mesurer les angles en radians,
°, c'est au programme de 1ère. :hum:
et le cosinus d'un angle, au programme de Bac+3 (clin d'oeil aux connaisseurs :zen: = )