Coordonnées de la projection d'un point sur une droite

[flyjodel]

Bonjour, la géométrie analytique est un peu loin maintenant, et je recherche une formule qui (en deux dimensions) me donne les coordonnées de la projection d'un point sur une droite.

Les éléments à ma disposition sont les coordonnées des deux points qui définissent cette droite, ainsi que les coordonnées cartésiennes du point à projeter orthogonalement.

Merci !

[PaTaPoOF]

Bonjour,
Une petite formule qui se démontre facilement avec les produits scalaires :
Soit le point
Et la droite D:ax+by+c=0

La distance de A à D vaut :

[PaTaPoOF]

Zut j'avais mal lu ce que tu cherchais, fais comme si mon message n'existait pas :rolleyes:

[flyjodel]

en effet, la distance à la droite est souvent évoquée mais ce n'est pas ce que je cherche.

Il me faut les coordonnées de l'intersection entre une droite et la perpendiculaire à celle-ci, passant par le moint A(x0,y0)

Michel

[Anonyme]

avec l'équation de la droite et un produit scalaire, tu obtiens ça facilement
soit AB les points qui définissent la droite
C un point et D son projeté orthogonal sur la droite

avec les coordonnées de A et B tu connais l'équation de la droite
vecAB . vecCD = 0
avec a et b les coordonnées de D, cela te donne une autre droite

l'intersection des deux droites est le point D
on trouve ces coordonnées avec les deux équations de droites

cqfd ?

[flyjodel]

oui, c'est bien ce que je cherchais, mais sans passer par les produits scalaires :

soit D1 la droite sur laquelle je projette le point D(x0,y0) :
D1 : y=a.x+b

soit D2 une droite perpendiculaire à D1 :
D2 : y=(-1/a).x+c

Or D(x0,y0) appartient à cette droite D2, donc ses coordonnées vérifient l'équation de D2, soit :
D2 : y=(-1/a).x+(y0+1/a.x0)

l'intersection G de D1 et D2 est donnée en vérifiant les équations de D1 ET de D2, soit :
Gx = (x0-b+a.y0)/(1+a²)
Gy = b + a.(x0-b+a.y0)/(1+a²)

pas d'erreur ?
Merci

[Anonyme]

pas d'erreur, ça marche

mais jamais un prof ne m'a fait écrire dans mon cours que le produit des coefficients directeurs de deux droites perpandiculaires faisait nécessairement -1
c'est pourquoi je ne sais pas si cette démonstration est acceptée

[flyjodel]

en considérant deux points et qui définissent la droite
et un point à projeter en sur la droite :

j'obtiens l'équation de la droite
Soit la droite perpendiculaire à , elle a pour équation :

en vérifiant que les coordonnées de A et de B vérifient l'équation de on obtient :



puis en vérifiant que M appartient à la droite :


A présent je cherche l'intersection de et de . J'obtiens en soustrayant les équations de et de , et en les additionnant soit :



et en remplaçant a, b et c par leurs expressions données plus haut, j'obtiens :





ces expressions reportées dans Excel ne donnent pas les résultats escomptés.

Quelqu'un saurait-il où est mon erreur, et d'autre part aurait-il assez de malice pour factoriser tout ceci de manière plus élégante ?

Merci

[Anonyme]

Il me semble qu'il y a une erreur dans les coordonnees de Gx et Gy dans le message de flyjodel. Ce devrait etre:
Gx = (x0-a.b+a.y0)/(1+a²)
Gy = b + a.(x0-a.b+a.y0)/(1+a²)
('b' doit etre multitplie par 'a' dans la parenthese).

En effet on doit resoudre:
y=(-1/a).x+(y0+1/a.x0)
y=a.x+b

ce qui donne:
a.x+b = (-1/a).x+(y0+1/a.x0) ==> (a+1/a).x = y0+1/a.x0-b
==> x = (y0+1/a.x0-b)/(a+1/a) = (x0-a.b+a.y0)/(1+a²) = Gx

[gourky]

En décomposant b, je trouve (le dénominateur est inversé):



Mais cela ne marche pas pour une droite verticale...

(Je sais, cela fait 7 ans mais si quelqu'un comme moi tombe dessus).

j'obtiens ainsi :



Pour y, il suffit de résoudre

Les résultats sont bons de mon côté