Convergence vers alpha ?

[chelsea-asm]

Bonjour,

Dans un exercice, que vous connaissez peut-être car c'est le bac 2010...
Il y a une fonction :



et la suite :

Auparavant, on a trouvé un nombre tel que
On a trouvé environ.
On sait de plus, que est strictement croissante sur

Dans une question, on dema,de quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite ?

Dans les corrigés (oui je n'y arrivait pas alors j'ai jeté un coup d'oeil...), ils disent que la suite semble converger vers

Est-ce que cela veut dire, que pour tout alors ??

Merci d'avoir tout suivi !

En ce qui concerne le graphique :

[Arnaud-29-31]

Salut,

Pour une suite monotone c'est vrai.

[chelsea-asm]

Merci,

Et j'ai une autre petite question, car je dois dire, en sachant que la suite Un converge vers , les sens de variation de la suite suivant les valeurs de

Alors en regardant le graphique, je sais que si U_0 est supérieur à (les deux autres solutions, inférieur ou égal à je les ai déjà faites), et bien si est supérieur à , alors la suite est décroissante (car elle tend vers \alpha). Mais je ne dois pas me baser sur le graphique je pense, c'est trop facile de dire (voir graphique).
Comment pourrais-je l'expliquer avec un calcul, qui admettrait que pour tout n, < ?

[Arnaud-29-31]

Je ne comprend pas ce que signifie ta dernière ligne, ce n'est pas parce que s'obtiennent simplement grâce à la croissance de f.

En effet, si tu as . Ceci te permet d'initialiser une récurrence.
On va montrer que pour tout n. c'est vrai pour n = 0 comme on vient de le dire.
On suppose que c'est vrai au rang n, l'hypothèse de récurrence est : , on lui applique f. Comme f est croissance, puis . Récurrence établie, est croissante.

Pareil pour U_0 > \alpha, tu montres que U_1 < U_0 pour initialiser la récurrence.
L'hypothèse est à laquelle on applique f.

J'espère que ca répond à ta question.