Convergence d'une suite

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes !

Je bloque totalement sur cette question, j'espère que vous pourriez m'aider



Etudier la convergence de la suite définie sur par :


Merci

[jlb]

Salut,montre déjà que |U(n+1)-4| =<4(3/4)^(n+1) si je n'ai pas fait d'erreur!!!

et après étudie la suite (n²(3/4)^n)

Bon courage.

[jlb]

Salut, montre que |u(n+1)-4|=<4 (3/4)^(n+1) et après tu étudies la suite (n²(3/4)^n) cela devrait te donner le résultat.
bon courage

[titine]

Dans ton exercice y avait il des questions avant celle ci ?

[upium666]

Dans ton exercice y avait il des questions avant celle ci ?

Oui :

1)a)Montrer que est majorée par 4
b)Montrer que est strictement croissante
c)En déduire que converge et déterminer sa limite
2)a)Montrer que pour tout entier naturel , on a :
b)Retrouver le résultat du 1.c
c)Etudier la convergence de la suite définie sur par :

J'avoue avoir peiné un peu pour la 2)a) mais j'y suis arrivé quand même
Maintenant je bloque sur la 2)c)
(J'avoue aussi ne pas avoir essayé la 2)b) :triste: )

[jlb]

utilise 2a) plusieurs fois, 4-u(n+1)=<0,5(4-u(n))=<0,5²(4-u(n-1))=<0,5^3(4-u(n-2))=<...=<0,5^(n+1)u(0)=0,5^(n-1)

tu peux alors étudier la convergence de(v): 0=
Il te reste à trouver la limite de la FI donnée par (w) telle que w(n)= n².0,5^(n-2)!!!!

( si tu n'as pas encore appris, une technique, c'est de considérer w(n+1)/w(n) et de chercher la limite de ce rapport et d'en déduire, à partir d'un certain rang n0, une majoration du style à 0=
tu peux alors voir ce qui se passe quand k tend vers l'infini

[upium666]

utilise 2a) plusieurs fois, 4-u(n+1)=<0,5(4-u(n))=<0,5²(4-u(n-1))=<0,5^3(4-u(n-2))=<...=<0,5^(n+1)u(0)=0,5^(n-1)

tu peux alors étudier la convergence de(v): 0=<v(n)=n²(4-u(n))=<n².0,5^(n-2)

Il te reste à trouver la limite de la FI donnée par (w) telle que w(n)= n².0,5^(n-2)!!!!

( si tu n'as pas encore appris, une technique, c'est de considérer w(n+1)/w(n) et de chercher la limite de ce rapport et d'en déduire, à partir d'un certain rang n0, une majoration du style à 0=<w(n+1)/w(n) =< alpha ( plus petit que 1), ensuite à partir de ce rang tu peux montrer w(n0+1)=<alpha w(n 0), d'où w(n0+2)=<alpha² (w(n0)) et donc w(n0+k)=<alpa^k (w(n0))

tu peux alors voir ce qui se passe quand k tend vers l'infini

Non, je ne l'ai pas encore appris
Pouvez-vous l'expliciter et me dire en quel niveau on étudie ça ?

Merci

[Sourire_banane]

En maths sup, maths spé, mais on peut voir ça en terminale sous couvert des bons théorèmes (limite monotone, monotonie des suites de la forme f(u_n)=u_{n+1} si f croissante, etc.), utilisés bien sûr avec une grande rigueur.
Il peut aussi être intéressant (plutôt hors-programme) de s'intéresser à la vitesse de convergence et de trouver des équivalents/développements asymptotiques de la suite en l'infini.

[jlb]

tu peux jeter un coup d'œil sur Wikipédia, cela s'appelle la règle de d'Alembert ( pour la démo, le but c'est de majorer le terme de ta suite par une suite géométrique de raison inférieur à 1 dont tu dois connaître la limite)

[nodjim]

Si on admet la convergence de un (problème classique) vers 4, reste à voir le vn.
On peut faire:
un=4-e, e petit devant 4.
rac(3(4-e)+4)=rac(16-3e)=4 rac(1-3e/16).
Du fait que -3e/16 est petit devant 1, on peut assimiler (1-3e/16)^n=1-3en/16
Soit rac(1-3e/16)=1-3e/32.
4(1-3e/32)=4-3e/8.
Ce très petit e diminue selon une suite géométrique de raison 3/8.
A comparer avec n².