Convergence - suites - récurrence

[Dinozzo13]

Bonjour j'aurai besoin d'aide pour finir l'exercice suivant (je dois dire que je n'ai pas fait grand chose ) merci.

A. On considère la suite définie par et pour tout .
1°) Déterminer la solution a de l'équation : .

2°) Montrer par récurrence que, pour tout .
Pas de problème.
Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite.
Là, je pense qu'il faut étudier la différence mais je n'arrive pas à le faire correctement.

[Ericovitchi]

ca n'est pas "Déterminer la solution a de l'équation : rac(1+x)=x ?
car s'ils te demandent ça, c'est que c'est a la limite de la suite.


Sinon oui tu formes Un+1 - Un, tu multiplies par la quantité conjuguée qui montre que c'est positif et que la suite est donc croissante.
Croissante et majorée donc elle converge et comme c'est a la seule valeur éligible pour une limite, elle converge vers a

[Nightmare]

Salut,

n'est-ce pas plutôt ?

On pose . Tu as que f est strictement croissante sur ]-1;+oo[ et donc que si x est compris entre 0 et alors f(x) est entre 1 et (puisque ). On en déduit par récurrence que si alors

[Nightmare]

J'ai pas répondu à la bonne question,

Pour la croissance de la suite U(n), étant donné que f est croissante, la suite U(n) est monotone. Et comme on en déduit que la suite est croissante. Etant majorée, elle est convergente et converge vers un point fixe de f.

Sinon, on a si bien que .

On a par le TAF que pour tout x >=1, et pour x=U(n), on a donc qui entraine par récurrence que et on en déduit la convergence.

:happy3:

[Dinozzo13]

Oui en effet c'est je rectifie :++:

Pour tout :
.
Or pour tout donc par conséquent .
Or pour tout donc et donc donc .
Est-ce bon ?

[Dinozzo13]

La question suivante m'embête un peu.
3°)a) Montrer que pour tout .
Auriez-vous une idée ?
Je pense qu'il faut peut-être partir de

[Dinozzo13]

Je pense avoir peut-être trouvé une partie :
Déjà, et .
Mais après, je vois toujours pas quoi faire

[Ben314]

Salut,

Pour ton post #5, c'est O.K. à condition de justifier l'implication

Pour la questin suivante, ne pas oublier que, par définiton, on a donc en n'oubliant pas qu'en fait, ...

[Dinozzo13]

Salut,

Pour ton post #5, c'est O.K. à condition de justifier l'implication

Je l'ai mis il me semble mais peut-être pas sous forme d'implication.

Pour la questin suivante, ne pas oublier que, par définiton, on a donc en n'oubliant pas qu'en fait, ...

Ah oui bien vu, c'est vrai que j'ai oublié le fait que :++:
Pour tout de : donc

Ai-je bon ?

[Dinozzo13]

Est-ce que pour démontrer que :
sachant que on peut d'abord montrer que :
puis de multiplier tout par

[Dinozzo13]

Ensuite, la question suivante me pose problème :
b) Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout .
Puis on me demande d'en déduire une valeur approchée, par défaut, à près du nombre .

[Ben314]

Oui, tout est o.k. : tu peut mulitplier l'inég&lité par a-Un car c'et un réel positif donc cele ne change pas le sens de l'inégalité.

Pour la question suivante, la récurrence ne devrait pas poser de problème vu le résultat que l'on vient de montrer.
Ensuite, on te demande de voir à partir de quel n on a 1/2^n =< 10^-6 et de calculer le Un correspondant (à la machine à mon avis)

[Dinozzo13]

N'aurai-je pas fait une erreur :
car sinon et donc la suite serait constante.
Donc

[Dinozzo13]

Je trouve .
On peut le faire en utilisant peu la calculatrice en résolvant : d'où

[Ben314]

C'est bien ça, mais ce serait plus logique d'écrire des inégalités :
d'où