Convergence suite un=(1+1/n)^n

[matheuse38]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice dont le but est de montrer que la suite de terme général
un=(1+1/n)^n
converge vers le nombre e (exp(1)).

Dans cet exercice, la méthode est d'encadrer e puis en utilisant le théorème des gendarmes aboutir à la conclusion esposée plus haut.

Le souci, c'est que je dois trouver 2 autres méthodes pour prouver la convergence de (un) vers e. J'en ai trouvé une qui consiste à écrire
(1+1/n)^n=exp(n.ln (1+1/n)
Pourriez-vous me donner d'autres façons de montrer que un converge vers e?
J'ai pensé aux théorèmes des suites adjacentes puisque
(1+1/n)^n < e <(1+1/n)^(n+1) mis le hic c'est que le théoorème ne donne pas la valeur de la limite!

Ensuite je dois parler de la vitessse de convergence de la suite (un), je trouve que celle-ci est lente puisque (un+1 - e)/(un - e) tend vers 1 en +inf mais je n'arrive pas à le prouver par le calcul, avez-vous des pistes à me donner?

Enfin, dans la continuité de cet exercice, je dois construire une suite qui tende vers exp(x), quel que soit x. Je trouve un(x)=(1+x/n)^n mais là encore je ne sais pas comment le justifier!

Merci d'avance de votre aide qui me sera très précieuse je n'en doute pas.

[girdav]

Bonjour.
Cet exercice s'inscrit-il dans le cadre d'un chapitre particulier? Si oui, on pourrait trouver plus facilement d'autres méthodes.
En fait, tout dépend de la définition de que l'on a à disposition. Si on connaît les fonctions logarithme et exponentielle c'est bon mais sinon je suppose que la définition est .
En ce qui concerne la vitesse de convergence on peut faire un développement limité (asymptotique) de .

[matheuse38]

C'est dans un devoir maison pour approfondir les notions sur les suites et la fonction exponentielle vues en cours.
Concernant les DLs, ils ne sont pas au programme de terminale?!

[girdav]

Je ne crois pas. Mais que sais-tu sur la vitesse de convergence?

[matheuse38]

s'il existe un réel alpha tel que la suite de terme général (un+1 - e)/(un - e) tende vers alpha alors valeur absolue de alpha est le coefficient de convergence.
la convergence est respectivement lente, géométrique, rapide si alpha=1, valeur absolue de alpha < 1, alpha=0

[armor92]

Bonsoir,

Si tu as déjà démontré que (1+1/n)^n < e <(1+1/n)^(n+1) , on peut démontrer que e - Un tend vers 0.

En effet, e < (1+1/n)^(n+1) donc,
e - Un < (1+1/n)^(n+1) - (1+1/n)^n
e - Un < (1 + 1/n)^n (1 + 1/n -1)
e - Un < (1 + 1/n)^n * (1/n)
e - Un < (e / n)

Ca démontre bien que la suite Un converge vers e.