Convergence de suite

[titine]

Bonjour,
je voudrais démontrer que la suite définie par U(n+1) = (U(n)+2)/U(n) converge.
Je le vois bien avec l'escargot ...
Je pense qu'il faut montrer que la suite des pairs et celle des impairs sont adjacentes, mais je n'y arrive pas ...
Merci de votre aide.

[chan79]

salut
Pas d'info sur Uo ?

[titine]

Par exemple U0 = 1.
En fait je pense que ça doit marcher avec n'importe quelle valeur.

[chan79]

si U0=2 la suite est constante et égale à 2
si U0=-1 la suite est constante et égale à -1
si U0=-2 la suite n'existe pas

[titine]

Oui, oui, d'accord avec toi ...
Bon, disons U0 positif et différent de 2.
Par exemple U0 = 1 comme je le disais.

[lapras]

salut

Pour montrer qu'elle converge il suffit de prendre les deux suites adjacentes : Vn = U2n
Wn = U_(2n+1)
étude de Vn :
Vn+1 = (2Vn)/(Vn + 2) + 1= 3 -4/(Vn+2)
(relations de récurrence)
tu peux montrer que Vn décroit
et par récurrence Vn > 2
donc Vn converge (tu peux meme prouver qu'elle converge vers 2)
de meme avec les termes impairs
et c'est fini :happy2:

[chan79]

salut

Pour montrer qu'elle converge il suffit de prendre les deux suites adjacentes : Vn = U2n
Wn = U_(2n+1)
étude de Vn :
Vn+1 = (2Vn)/(Vn + 2) + 1= 3 -4/(Vn+2)
(relations de récurrence)
tu peux montrer que Vn décroit
et par récurrence Vn > 2
donc Vn converge (tu peux meme prouver qu'elle converge vers 2)
de meme avec les termes impairs
et c'est fini :happy2:

Salut et OK pour le principe
il me semble que si U(0)=1 alors la suite Vn est croissante

[lapras]

J'ai fait ca tres vite...
V_(n+1) - Vn = (2Vn)/(Vn + 2) - (Vn² + 2Vn)/(Vn + 2) =-(Vn²/(2Vn+2))
par récurrence, Vn > 0
donc
V_(n+1) - Vn < 0
donc v décroissante

[chan79]

Sauf erreur (bien possible) de ma part:
Si U(0)2 alors Vn est décroissante

[lapras]

Les calculs contre ma preuve
il se pourrait bien que tes calculs l'emportent
J'ai vraiment pas vérifié tous les calculs...
Mais l'idée est la meme si U0<2