√(2√(2√(2√(√2) ) ) ) converge t-elle
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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LZIN
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par LZIN » 27 Oct 2022, 15:07
bonjour
je suis coincée à cette exercices est ce que vous pourriez m'aidez merci
https://fromsmash.com/mathiage
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mathelot
par mathelot » 27 Oct 2022, 18:00
Bonjour,
on pose
=\sqrt{2x})
. La fonction f est elle croissante ? décroissante ?

Qu'est ce que l'on peut en déduire pour la suite
)
?
quels sont les points fixes de f ,i.e, les racines de l'équation x=f(x) ?
f admet comme points fixes 0 et 2. Montrer que la suite (x_n) est majorée par 2.
En déduire que la suite est convergente et que sa limite est 2 quand tend vers l'infini.
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LZIN
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par LZIN » 28 Oct 2022, 09:09
Merci grâce à toi je pense avoir réussi
mais est ce que tu pourrais voir ci c'est cela Merci
https://fromsmash.com/image23456
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Sylviel
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par Sylviel » 28 Oct 2022, 12:34
Bonjour,
il y a de bons éléments mais cela manque de précision par endroit.
Il faut
1) montrer que la fonction est croissante (ok, mais peut sans doute s'argumenter sans calculer la dérivée)
2) montrer que la suite est croissante (argumentation au mieux peu claire, le mieux est de procéder par récurrence)
3) montrer que la suite est majorée (pas fait, se fait aisément par récurrence)
4) en déduire que la suite converge
5) calculer les limites possibles et en déduire la limite de la suite
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.
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mathelot
par mathelot » 28 Oct 2022, 13:22
pour tout entier n,
)
la fonction f est strictement croissante sur

(comme composée de deux fonctions strictement croissantes) et envoie

sur

démo de la croissance de la suite
)
:

on fait l'hypothèse de récurrence:
n entier

1 ,
 : 0 < u_{n-1} < u_ {n})
on compose par f:

donc
)
est héréditaire.
Comme elle est initialisée à n=1, elle est donc vraie pour tout entier

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LZIN
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par LZIN » 28 Oct 2022, 13:28
Merci
est ce que c'était juste le seul problèmes
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mathelot
par mathelot » 28 Oct 2022, 13:31
démo de la majoration de (u_n):

on fait l'hypothèse de récurrence
 : u_n < 2)
en composant par f:
)

Donc
)
est héréditaire et initialisée pour n=0. Elle est donc vraie quel que soit n .
donc
)
est majorée par 2.
Modifié en dernier par mathelot le 28 Oct 2022, 13:49, modifié 1 fois.
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mathelot
par mathelot » 28 Oct 2022, 13:33
LZIN a écrit:Merci
est ce que c'était juste le seul problème
non, il y a la majoration de la suite et la démo que sa limite est 2.
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mathelot
par mathelot » 28 Oct 2022, 13:37
La suite
)
est croissante, majorée, elle converge vers une limite l strictement positive.
on a:
)
La fonction f étant continue sur R+*, on a:
)
donc la limite l vaut 0 ou 2.
Comme

, la limite de la suite

) est 2.
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mathelot
par mathelot » 28 Oct 2022, 13:47
LZIN a écrit:Merci
est ce que c'était juste le seul problèmes
Je pense que globalement,
il te manquait deux démonstrations par récurrence.Si tu es en Terminale, c'est au programme. Si tu es en classe de Première, c'est plus délicat.
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LZIN
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par LZIN » 28 Oct 2022, 13:52
Merci beacoup
je vais appliquer tes conseils et je suis en terminal
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