Conjecture somme des carrés des chiffres

[Mateo_13]

Bonjour,

je vous propose un algorithme à programmer pour s'amuser

1) Choisis un entier non nul (par exemple 541), calcule la somme des carrés de ses chiffres.
Recommence avec l’entier obtenu et ainsi de suite. Que se passe-t-il au bout d’un certain temps ?

2) Fais fonctionner l’algorithme pour les entiers de 1 à 9.
Complète le schéma ci-dessous pour les nombres 3 ; 5 et 6.


3) Complète la conjecture suivante par deux nombres distincts et inférieurs à dix :
Pour tous les entiers naturels non nuls, on obtient, au bout d’un certain nombre de coups,
soit le nombre ... , soit le nombre ... .

4) Programme cet algorithme en Python.
L’instruction est la partie entière d’un entier et il faut commencer le programme par :

Code: Tout sélectionner

from math import floor

Amicalement,

[Mateo_13]

Une contrainte supplémentaire :

dans les programmes Python de lycée,
il faut proscrire les ,
et il faut l'écrire sous forme d'une fonction (ou sous-programme), avec .

C'est le programmeur qui devrait être l'utilisateur du programme.

Amicalement,

[ffback]

Il peut être bon de remarquer (et démontrer) que si on part d'un nombre à 3 chiffres ou plus, on obtient un nombre plus petit, et qu'en répétant l'opération on va donc forcément finir par tomber sur un nombre à 2 chiffres ou moins. Il reste donc plus qu'un nombre fini de cas à tester.

[Mateo_13]

Merci pour cette remarque,
qui risque de faire tomber la conjecture au rang de propriété

Amicalement,

[mathou13]

Bonjour,


1) Choisis un entier non nul (par exemple 541), calcule la somme des carrés de ses chiffres. 5*5+4*4+1*1=42->4*4+2*2=20->2*2+0*0=4 ->4*4=16 ->1*1+6*6=37 ->3*3+7*7=58 ->5*5+8*8=89 ->8*8+9*9=64+81=145 ->1*1+4*4+5*5=42 ->4*4+2*2=20 ->2*2+0*0=4
Recommence avec l’entier obtenu et ainsi de suite. Que se passe-t-il au bout d’un certain temps ? au bout d'un certain temps on obtient un cycle.

2) Fais fonctionner l’algorithme pour les entiers de 1 à 9.
1
1*1=1

2
2*2=4 -> 4*4=16 4 ->4*4=16 ->1*1+6*6=37 ->3*3+7*7=58 ->5*5+8*8=89 ->8*8+9*9=64+81=145 ->1*1+4*4+5*5=42 ->4*4+2*2=20 ->2*2+0*0=4

3
3*3=9 -> 9*9=81 ->8*8+1*1=65 -> 6*6+5*5=61 ->6*6+1*1=37 37 ->3*3+7*7=58 ->5*5+8*8=89 ->8*8+9*9=64+81=145 ->1*1+4*4+5*5=42 ->4*4+2*2=20 ->2*2+0*0=4

4
4 ->4*4=16 ->1*1+6*6=37 ->3*3+7*7=58 ->5*5+8*8=89 ->8*8+9*9=64+81=145 ->1*1+4*4+5*5=42 ->4*4+2*2=20 ->2*2+0*0=4

... je vous laisse completer.
Complète le schéma ci-dessous pour les nombres 3 ; 5 et 6.