Congruences TS spé maths

[SpeakOut]

Bonjour à tous !

Je bloque sur un exo de spé maths sur les critères de divisibilité par 7 et les congruences
L'énoncé :

(je ne sais pas faire le signe "congru" donc je le remplace par "==")

Soit N un entier naturel qui s'écrit abcdefghi en base 10

1-Ecrire N avec les puissances de 10
2- En remarquant que 10 == 3 (modulo 7) et en utilisant les propriétés des congruences démontrer que N == (i-f+c) + 3(h-e+b) + 2(g-d+a) (modulo 7)
3- En déduire un critère de divisibilité de N par 7
4- Peut-on généraliser ce résultat quelque soit le nombre de chiffres de N ? Expliquer.

J'ai déjà fait la question 1, j'ai trouvé N = ax10^8 + bx10^7 + cx10^6 * + dX10^5 + ex10^4 + fx10^3 + gx10^2 + hx10^1 + ix10^0

Et la je bloque à la question 2...
J'ai justifié que 10 == 3(modulo 7) car 10-3 = 7 et 7 est divisible par 7
Ensuite j'ai essayé d'exprimer chaque membre de l'addition de la question 1 avec des congruences modulo 7, ça me donne qqchose comme ça :

ix10^0 == i(modulo 7)
hx10^1 x 10==3h(modulo 7)
gx10^2==3^2 x g (modulo 7)
fx10^3==3^3 x h (modulo 7) etc...

Je pense que je me suis trompée, je n'arrive pas à retomber sur l'expression de l'énoncé en les additionnant... Sinon je sais qu'il y a moyen de simplifier les congruences, mais je ne sais pas comment faire... Est-ce que ça aiderait ?

Merci pour votre aide, ça fait 2h que je bloque sur la question et je commence à devenir chauve tellement je m'arrache les cheveux !

[nodjim]

g100=3²g.
non, modulo 7, g100=2g.

[SpeakOut]

Ah d'accord... donc si j'ai bien compris pour a == b (modulo n) il faut que bDe la même façon, fx10^3 == 6f (modulo n) ?

[Kikoo <3 Bieber]

Ah d'accord... donc si j'ai bien compris pour a == b (modulo n) il faut que b<n ?
De la même façon, fx10^3 == 6f (modulo n) ?

C'est justement le principe des congruences que d'avoir b un reste strictement plus petit que n.

Et sinon oui, je suis d'accord.