Congruences et nombre décimaux

[Kugge]

Bonjour,
Je tiens avant tout a préciser que je n'ai pas suivi le programme de spé maths mais que je le refais tout seul de mon coté, en conséquence il se peut que je sois passé a côté de quelque chose d'évident etc.
Je vais également poser beaucoup de questions (vous m'excuserez), que je mettrais en gras.

L'équation étudiée est la suivante :

Je cherche donc à trouver en faisant une congruence modulo 7 :


Donc :



Et là vient le problème.

Est ce que cela est autorisé ? =>



Ensuite, si je continue en considérant cela comme autorisé, voilà les prochaines étapes de ma résolution :





Les couples de solution sont donc :
1 -
2 -
3 -
4 -

Mon raisonnement est-il correct ?

De plus, après avoir vérifié avec geogebra, il s'avère que même si k n'est pas un entier naturel, la réponse est juste. (Plus précisément si k est un réel strictement supérieur à 0)
Il y a-t-il une règle qui justifie cela ? Une explication qui n'est peut être pas dans le programme ?

Merci énormément pour vos réponses ! (et vos lectures aussi)

[Lostounet]

Salut,

Il y a quelque chose de très important que tu n'as peut-être pas compris.

Quand on cherche à résoudre une équation comme x^2-7y^2=3, on cherche des couples (x;y) qui vérifient cette équation mais qui sont des entiers !

Si tu écris x^2=3+7y^2 puis x=+- racine(3+7y^2) ou bien en procédant comme tu as fait tu n'as pas trouvé d'entiers x et y qui répondent à la question.

Si on prend ton cas numéro 1, est-ce que pour k=2 on a x et y qui sont simultanément deux entiers ?
Certes tu es parvenu à isoler x et y mais cela ne répond pas à la question. Il suffirait juste de mettre les x d'un côté et les y de l'autre...

Par exemple connais-tu des entiers x et y tels que 3y=2x ? Si tu me dis y=2x/3 cela ne m'avance pas.

(Pareil si tu me dis x=k et y=2k/3). Alors que si tu me dis x=3k et y=2k avec k un entier tu as répondu à la question vu que c'est des entiers.

C'est là toute la difficulté. Si je te demandais n'importe quels réels ce serait bcp plus facile que chercher des entiers !

Tout l'intérêt des congruences est de développer des outils pour s'attaquer à ce genre de problèmes.


Si tu veux poursuivre correctement, tu es arrivé à x^2=3 modulo 7

Donc tu dois maintenant chercher quels entiers élevés au carré donnent 3 modulo 7 (en faisant un tableau de congruences pour x allant de 0 à 6 modulo 7 et calculant x^2 pour chacun).

Une fois cela fait tu pourras avancer...

[Kugge]

Salut,

Il y a quelque chose de très important que tu n'as peut-être pas compris.

Quand on cherche à résoudre une équation comme x^2-7y^2=3, on cherche des couples (x;y) qui vérifient cette équation mais qui sont des entiers !

Merci pour votre précision !

En effet je n'avais pas envisagé de trouver des solution entières.
Je vais donc essayer d'en trouver :

Après avoir fait une table de congruence je tombe sur ça :



Je tente donc un raisonnement par l'absurde :

Si solution de , alors a pour reste (car ).
Or on sait que donc il n'y a aucun nombre qui, élevé au carré et divisé par 7 a un reste qui est de 3, selon la table de congruence ci-dessus. L’équation n'admet donc aucune solution.

Ce raisonnement est-il correct ?

De plus, est-il pertinent, dans le cas où x et y sont des réels, d'utiliser les congruences pour trouver toutes les solutions ? (Ce que j'ai fait tout en haut)

Merci encore pour vos réponses.

[Lostounet]

alors a pour reste (car ).
Or on sait que donc il n'y a aucun nombre qui, élevé au carré et divisé par 7 a un reste qui est de 3, selon la table de congruence ci-dessus. L’équation n'admet donc aucune solution.

C'est un peu bizarre. Car quand tu dis que x^2 = 3 (modulo 7) cela veut dire que x^2 - 3 est divisible par 7.

" x^2/7 a pour reste 3" n'est pas super clair (ce que tu veux dire c'est que x^2 est de la forme 7k + 3 c'est ok mais le symbole / est uniquement pour la division sur les réels, on ne peut pas l'utiliser dans les congruences. !

Seconde chose que je ne comprends pas c'est "or on sait que a^x = b^x [n]". Tu veux dire c'est la propriété que tu as utilisé pour remplir ton tableau ? Si c'est ça, super !

Une meilleure rédaction plus claire serait:
Soit (x;y) un couple d'entiers tel que x^2 - 7y^2 = 3
Comme 7y^2 = 0 (modulo 7) puisque 7y^2 est divisible par 7 (vu que y et donc y^2 sont des entiers), nous avons x^2 - 7y^2 = x^2 + 0 (modulo 7).

Comme par ailleurs x^2 - 7y^2 = 3 modulo (7) alors nécessairement x^2 = 3 (modulo 7).

En remplissant le tableau, on montre que x^2 = 3 (modulo 7) n'a aucune solution. Donc l'équation initiale n'a aucune solution !



Ensuite pour ta question sur les modulos et les réels, non ce n'est pas pertinent.
Les congruences sont un outil de travail sur l'ensemble des entiers relatifs. Cela ne sert pas dans la résolution d'équations sur R.

Tu trouveras parfois la notion "a = b " (mod 2*pi) par exemple si tu fais de la trigonométrie.
Dans ce cas, cela signifie exactement que a - b est un multiple de 2*pi. Mais à part cela...


Bref, ce que tu devrais retenir:
* Le symbole / de division est uniquement pour la division exacte (pas la division euclidienne)
* Bien préciser si l'on cherche des solutions entières, ou bien réelles pour identifier les outils utiles (congruences = entiers).

[Kugge]

Soit (x;y) un couple d'entiers tel que x^2 - 7y^2 = 3
Comme 7y^2 = 0 (modulo 7) puisque 7y^2 est divisible par 7 (vu que y et donc y^2 sont des entiers), nous avons x^2 - 7y^2 = x^2 + 0 (modulo 7).

Comme par ailleurs x^2 - 7y^2 = 3 modulo (7) alors nécessairement x^2 = 3 (modulo 7).

En remplissant le tableau, on montre que x^2 = 3 (modulo 7) n'a aucune solution. Donc l'équation initiale n'a aucune solution !

C'est ce que j'essayais de dire en effet, merci beaucoup pour votre aide et vos indications !