Congruences et divisibilité

[Alp]

Bonjour à tous,

Je suis tombé sur un exo type sur les congruences dans lequel je soupçonne une erreur d’énoncé. Il se peut très bien que je me plante, c’est pourquoi je demande votre avis.

Il s’agit dans un premier temps de déterminer en fonction de l’entier naturel le reste de la division euclidienne de par . Une disjonction des cas permet de conjecturer rapidement que :
— si peut s’écrire sous la forme , alors ;
— si peut s’écrire sous la forme , alors ;
— si peut s’écrire sous la forme , alors .
La conjecture est facilement démontrable.

On se propose ensuite d’en déduire que est divisible par . C’est démontrable pour et , mais c’est faux pour (il suffit de prendre pour s’en convaincre, ou n’importe quel multiple de ).

Question : le problème vient-il de l’énoncé ou de moi ? Merci d’avance.

[nodjim]

Il me semble que c'est vrai pour cette expression:
(2^n)*(1+2^n+2^2n)

[nodjim]

C'est vrai pour 2^n+2^(n+1)+2^(n+2), mais bon c'est en fait 2^n(1+2+4) donc c'est normal.

Sinon, je suis d'accord avec toi, c'est faux.

[Alp]

O.K., merci. Sinon, je ne te suis pas pour la première ligne là.

[nodjim]

La 1ère ligne est une variante de l'énoncé. Celle là marche, elle est divisible par 7. Je tentais seulement de deviner d'où venait l'erreur du livre.