Complexe et trigo

[kadaid]

Bonjour

z=cos(5Pi*n/12)+isin(5Pi*n/12) (z nombre complexe)
n entier naturel
trouver n pour que z soit un réel ?

z complexe équivaut à sin(5Pi*n/12)=0

donc n=0 ou n=(12+24k)/5, k entier
Ces solutions vérifient bien l'équation mais la correction donne n=24k qui vérifie l'équation mais est
t- elle obtenue comment?

Merci pour vos commentaires

[annick]

Bonjour,

pour moi, sin a=0 alors a=kpi

Ici, sin(5pi n/12)=0 donc 5 pi n/12=kpi et n=12k/5

[Pseuda]

Bonjour,

z est réel ssi ssi ssi

z est imaginaire pur ssi ssi ssi .

Sauf erreur de calcul, je ne vois pas non plus d'où sort le 24k.

A noter que n=24k' est une solution particulière de z réel (pour k'=10k).

[Ben314]

Sauf erreur de calcul, je ne vois pas non plus d'où sort le 24k.

éventuellement une erreur de transcription de l'énoncé qui demandait "trouver n pour que z soit un réel positif" ce qui donnerais bien du n=24k.

[kadaid]

Bonjour

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éventuellement une erreur de transcription de l'énoncé qui demandait "trouver n pour que z soit un réel positif" ce qui donnerais bien du n=24k.

Ben314, tu as raison!

C'est une question du bac Algérie 2016 qui est rédigée en arabe et c'est bien "z réel strictement positif"
J'ai un très faible niveau en arabe!

Dans ce cas: 0<cos(5Pi*n/12)<=1 et n=12k/5
équivaut à n=12k/5 et -Pi/2<5Pi*n/12<Pi/2
équivaut à n=12k/5 et -1/2<5n/12<1/2
équivaut à n=12k/5 et -6/5<n<6/5
équivaut à n=12k/5 et -1<n<1
Je ne vois pas comment arriver à n=24k ?

[Ben314]

Pour trouver les n tels que z soit réel positif, tu peut

1) Soit faire un cercle trigo. sur lequel tu représente les différent sur lequel tu "vois" immédiatement que est réel positif ssi n est multiple de 24 (et que dans ce cas ).
A mon avis, c'est la meilleure méthode et on voit parfaitement ce qu'on fait, mais ça peut éventuellement être considéré comme "pas assez formel" par certains.

2) Soit utiliser le fait (si tu le connait) que le en question a comme argument (et comme module 1) puis le fait qu'un complexe est réel positif ssi son argument est de la forme avec dans .

3) Soit le faire "à la main" en commençant par dire que est réel <=> le sinus est nul <=> avec puis en disant qu'il est réel positif si on a en plus c'est à dire c'est à dire pair soit encore avec .

Dans les cas 2) et 3), tu termine en disant qu'il faut (et il suffit) que sauf que, pour que soit entier, il faut que 5 divise donc que 5 divise vu que 5 est premier avec 24.
Donc on doit avoir avec et donc .

P.S. Et ta série d'équivalent est totalement fausse vu que cos(x)>=0 n'est pas du tout équivalent à -pi/2<=x<=pi/2.
Il est par exemple complètement évident que lorsque x=2.pi (qui n'est pas entre -pi/2 et pi/2) cos(x)>=0 vu que cos(2.pi)=1.
En fait, pour que cos(x)>=0, il faut que -pi/2<=x<=pi/2 à 2k.pi près, c'est à dire qu'il faut qu'il existe k dans Z tel que 2k.pi-pi/2<=x<=2k.pi+pi/2

[kadaid]

Bonjour Ben314
Merci pour ta réponse, j'ai refait les calculs que tu as indiqués et j'ai compris.

Cependant j'ai repris ma méthode qui était fausse

2k.pi-pi/2<=5nPi/12<=2k.pi+pi/2
-6/5+24k/5<=n<=6/5+24k/5
5 doit diviser k c'es à dire k=5q
on obtient:-6/5+24q<=n<=6/5+24q, q entier

ici n=24q-1 ou n=24q ou n=24q+1
il y a que n=24q qui vérifie les conditions de l'énoncé.

Mais je ne sais pas si c'est correct

comme n entier

[Ben314]

-6/5+24k/5<=n<=6/5+24k/5
5 doit diviser k c'est à dire k=5q

Non, là ça marche pas du tout : on veut que n soit entier certes, mais il n'y a aucune raison particulière pour que les extrémités de l'intervalle que l'on trouve ici soient entières : Si un entier n qui est compris entre deux réels a et b, ça ne prouve pas du tout du tout que a et b sont entiers ! (et en plus, pour que les bornes soit entières, il faudrait que 5 divise 24k+6 et 24k-6 pas 24k)

Arrivé à ce point, si tu veut écrire des trucs en plus, il faut utiliser le fait (lié au sinus qui doit être nul) que n=12m/5 (m entier), puis en déduire que n=12q (q entier) puis écrire que -6/5+24k/5<=12q<=6/5+24k/5 c'est à dire que -1/10+2k/5<=q<=1/10+2k/5 et enfin montrer qu'une telle inégalité ne peut être vérifiée que si q est pair (ce qui est un peu c... à démontrer proprement, mais ça se voit bien sur un dessin de l'axe réel où on hachure les différents intervalles [2k/5-1/10 ; 2k/5+1/10])

[kadaid]

J'ai appris une chose en plus: un entier peut être encadré par deux réels et non forcément que par des entiers !