Calculs d'aire integrales primitives

[tigoun]

Bonjour a tous . A la rentrée nous commençons un nouveau chapitre intitulé "calculs d'aire intégrales primitives" (terminale S) j'ai donc décider comme a mon habitude de m'avancer. Mais je suis tomber sur une colle en effet voici tout d'abord l'énoncer:

Encadrement d'une aire par deux suites adjacentes ( activité du livre collection math'x):

Soit f une fonction continue positive strictement croissante sur [0.1].Soit A l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe de f , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=0 et x=1

1. montrer que (1/2)(f(1/2)+f(0))on note S1=(1/2)(f(1/2)+f(0))et E1=(1/2)(f(1/2)+f(1))
Jusque la pas de problème par contre la deuxième je bloque:

2-On recommence le procédé en divisant [o;1] en quatre parties égales .

a-montrer que:
(1/4)(f(0)+f(1/4)+f(1/2)+f(3/4))on note S2=(1/4)(f(0)+f(1/4)+f(1/2)+f(3/4)) et E2=(1/4)(f(1/4)+f(1/2)+f(3/4)+f(1))

[tigoun]

s'il vous plait aidez moi sa fait une heure que je suis deçu est sa donne que d'al

[Ben314]

Salut,
Le raisonnement est "purement graphique" :

Fait un premier dessin (avec f croissante) puis représente le rectangle correspondant à 0Que peut on dire de la somme des surfaces des 4 rectangles par rapport à la surface sous la courbe ? Conclusion.

Fait un deuxième dessin (avec la même fonction f) sur lequel tu représente le rectangle correspondant à 0Que peut on dire de la somme des surfaces des 4 rectangles par rapport à la surface sous la courbe ? Conclusion.

[tigoun]

hum la surface d'un rectangle et axb nous connaissons la hauteur et la largeur , j'obtient bien dans le premier cas surface totale: St=(1/4)(f(0)+f(1/4)+f(1/2)+f(3/4)) et dans le deuxieme St=(1/4)(f(1/4)+f(1/2)+f(3/4)+f(1))
mais quelle est la surface de la courbe , comment la calculer?
merci de ton aide

[benekire2]

quelle est la surface de la courbe

Pardon ?? Je connais la longueur d'une courbe, mais pas l'aire d'une courbe !!!

[Ben314]

Ce n'est effectivement pas "l'aire de la courbe" (qui ne veut pas dire grand chose à ton niveau) mais bien de l'aire sous la courbe :

Soit A l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe de f , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=0 et x=1

[tigoun]

ok merci beaucoup Ben et désolé si mon ignorance vous a choqué

[benekire2]

La longueur d'une courbe ça aurait été intéressant par contre ...

[Ben314]

ok merci beaucoup Ben et désolé si mon ignorance vous a choqué

Absolument pas, c'est un risque que tu prend à vouloir "prendre de l'avance" : des fois tu risque de "buter" sur un truc tout con-con uniquement du fait que personne n'est là pour te permettre de "visualiser" de quoi on parle.

Donc n'hésite absolument pas à poser des questions lorsqu'un truc te parrait "bizare".

[Ben314]

La longueur d'une courbe ça aurait été intéressant par contre ...

Tu saurais me calculer la longueur d'une élipse, par exemple de grand axe 4 et de petit axe 2 ?

[Ericovitchi]

ho non là c'est fourbe ça, Ben. tu l'envoie dans le mur des intégrales elliptiques. tu aurais pu choisir une cardioïde, une spirale logarithmique, une chainette, ... il aurait eu ses chances.

[benekire2]

Euh, c'est pas un peu compliqué ? J'ai pas fais les coniques. Mais ça ne me parait vraiment vraiment dur ton truc.

[benekire2]

ho non là c'est fourbe ça, Ben. tu l'envoie dans le mur des intégrales elliptiques. tu aurais pu choisir une cardioïde, une spirale logarithmique, une chainette, ... il aurait eu ses chances.

La chainette je sais faire .

[Ben314]

Justement, comme le dit Ericovitchi, l'elipse, c'est "fourbe" : on sait pas exprimer la longueur avec les fonctions usuelles (sin, cos...) alors qu'une élipse, c'est juste un cercle vu en perspective :
Un cercle : x=R cos(t) ; y=R sin(t) avec t entre 0 et 2pi
Une élipse : x=a cos(t) ; y=b sin(t) avec t entre 0 et 2 pi
C'est comme un cercle mais on a "étiré" un des deux axes.
Normalement, si tu veux représenter un cylindre vertical en perspective, c'est des élipses que tu met en haut et en bas. (si tu est sous windows et que tu as "paint", ben en fait il fait que des élipses et c'est à toi de faire "à vue de nez" des cercles.)

Les fonctions que l'on a "inventé" pour désigner les longueurs des élipses s'appellent les fonctions... éliptiques !

Bon, tout ça pour dire que le calcul des longueurs de courbes, c'est bien plus vache que le calcul d'aire.
Si tu as un peu de culture sur les intégrales, tu peu déjà essayer de calculer la longueur de la parabole d'équation y=x² pour x entre -1 et 1 : c'est déjà pas évident...

[benekire2]

oui j'ai essayé et d'ailleurs je trouve les chainettes bien plus gentilles !
Je viens d'aller voir la page ellipse. Je connais certaines des propriétés des coniques mais j'ai pas fais d'étude approfondie dessus, et j'ai trouvé les fameuses fonctions elliptiques ( plutôt moche !!)

Du fait que L la longueur de l'arc vale :



ça refroidit :id:

[Ben314]

ça refroidit :id:

ben, un peu...
Et tu comprend d'où sort la formule ?

[benekire2]

Je dois t'avouer que la seule fois que j'ai rencontré cette formule ... on me l'a donné et on m'a demandé de l'appliquer à la chainette. Mais j'ai "mon idée" , m'enfin, c'est naturel je crois :

L'intégrale étant a voir comme une somme "continue" , de là on peut imaginer que c'est la somme de la longueur d'infimes segments qui sont en réalité des tangentes. C'est confus, mais j'arrive a visualiser.

Après la formule ressemble à du pythagore ...

Mais il est vrai que je n'ai jamais creusé la dessus, puisque je laisse cela pour le chapitre des propriétés métriques des arcs paramétrés.

[Nightmare]

C'est un peu ça !

Tu pourrais par exemple essayer de faire intervenir une somme de Riemann que tu connais me semble-t-il.

[benekire2]

Ouais la somme de Riemann de racine(1+(f'(x))²) je suppose .
En fait, j'ai fais une recherche sur wikipedia et je crois que cette formule ( celle que j'ai donné dans l'autre post) est un cas étendu aux fonctions, alors qu'a la base c'est pour les arcs paramétrés. Faut que je me renseigne.


PS: J'ai pas non plus trop étudié les sommes de Riemann, je les connais juste "un peu" .

[Ben314]

En fait, je sais pas trop ce que j'attendais comme réponse...
Peut être, au minimum, de voir qu'un arc un peu plus "quelconque", ça se représente sous la forme de deux fonctions x(t) et y(t) : t est le temps et (x(t),y(t)) est la position d'un objet à l'instant t.
Le vecteur vitesse à l'instant t est alors (x'(t),y'(t)) et donc la vitesse instantanée (en temps que valeur numérique et pas en temps que vecteur) est la norme du vecteur vitesse, c'est à dire racine( (x'(t)² +(y'(t)² ).
Pour avoir la distance totale parcourue, on intègre la vitesse instantanée (c'est là que l'on peut sortir les sommes de Riemann : pour un tout petit instant ou la vitesse est à peu prés constante, la distance parcourue est vitesse x durée).
Il faut faire attention au fait que si on intégrait le vecteur vitesse, on obtiendrait comme résultat le vecteur de déplacement total, qui est évidement le vecteur allant du point de départ au point d'arrivé et qui ne tient donc pas compte des éventuels "détours".

Dans le cas où l'arc et la courbe d'une fonction y=f(x), on peut évidement considérer que c'est l'arc de paramétrisation x(t)=t et y(t)=f(t). on a alors x'(t)=1 et y'(t)=f'(t) et donc la vitesse instantannée est racine( (x'(t)² + (y'(t)² ) = racine( 1 + (f'(t)² ) ...