CALCULER AVEC LOI BINOMIALE 1ère ES

[stephane61]

Bonjour,

je suis en train de m'entraîner pour une interro mardi prochain sur les schémas de Bernoulli et loi binomiale. J'ai beaucoup de difficultés en maths alors j'essaie de refaire les exercices du cours mais des fois cela va un peu vite et pour certains je n'ai pas vraiment compris. Pouvez-vous m'expliquer cet exercice par exemple svp :

Exercice 5

Pour chaque situation suivante on note X la variable aléatoire qui suit la loi Binomiale calculer :

a)P(X=2) lorsque X suit la loi binomiale B(3;0.4)

Réponse désolée je ne sais pas comment écrire autrement le coefficient binomial sur forum)
donc P(x=k)=(k parmi n)*p^k*(1-p)^n-k

P(X=2)=(2 parmi 3)*0.4²*(1-0.4)^3-2
=>3*0.4²*0.6
=>0.288

b)P(x=4) lorsque X suit la loi binomiale B(5;0.5)

P(X=4)=(4 parmi 5)*0.5^4*(1-0.5)^5-4
=>5*0.5^4*0.5^1
=>0.156

Pour le a) et b) c'est bien "k" ici 3 et 5 (en rouge) que l'on multiplie à chaque fois au début de la première ligne ?.

[B]c)P(X( 0 parmi 5)*0.2^0*(1-0.2)^5+ (1 parmi 5)*0.2^1*(1-0.2)^4
=>1*1-0.8^5+(1 parmi 5)*0.2*0.8^4
=>0.737

Les valeurs de X vont jusqu'à 5 car n= 5 ? Ici je me demande si je n'ai pas mal recopié le résultat car pourquoi multiplie t-on par [COLOR=DarkRed]1 et non par 5 et que vient faire le (1 parmi 5) en rouge. Quand je l'ai refait voilà ce que j'ai fait :[/COLOR]

(0 parmi 5)*0.2^0*(1-0.2)^5-0 + (1 parmi 5)*0.2^1*(1-0.2)^5-1
5*1*0.8^5 + 5*0.2*0.8^4
1.6384 + 0.4096
2.048

Lequel est bon ?

MERCI D'AVANCE A CEUX QUI M'AIDERONT

[Axiom]

Bonsoir Stephane61,

De toute évidence, tu sembles avoir compris les cas où il s'agit d'une égalité, mais les choses se corsent quand l'inégalité est là... :lol3:
Reprenons, nous avions donc :
Soit la variable aléatoire suivant la loi Binomiale .
.
On rappelle que la loi est décrite par la formule suivante :


Avec le nombre de fois où l'expérience est répétée, le nombre de succès et la probabilité de succès.

Concernant ta question sur l'apparition du '1', il s'agit du résultat de , en effet, ceci représente la façon de prendre 0 objet dans un ensemble de 5 objets, et il en existe qu'une seule manière... :ptdr: En fait les coefficients binomiaux donne le nombre de possibilités de prendre objets parmi objets, le plus simple est que tu essayes avec des stylos par exemple.. :lol3:
Attention également, tu as fait une erreur de recopie, pour tu as :
et non pas !
Pour le , il peut en effet se simplifier par 5, ce qui te donne pour : .
Tu retrouves bien donc :
Au passage, tu ne peux pas avoir une probabilité supérieur à 1, c'est impossible d'avoir un événement qui a plus de 100% de chance d'arriver en fait.. :happy:

En espérant t'avoir aidé.. :lol3: .

[stephane61]

Bonjour, merci beaucoup pour votre aide.J'ai encore du mal à comprendre comment on trouve pour (0 parmi 5)=>1. Moi je pensais que l'on prenait la valeur n ici 5 surtout que vous dites que pour (1 parmi 5) on peut simplifier par 5 donc n.
Quand il y a un arbre je comprends par contre. Mais si on n'a pas d'arbre on peut calculer le coefficients binomial qu'avec la formule de la calculatrice ?
Désolé je sais que je suis long à comprendre!! Merci d'avance pour votre patience

[Axiom]

Oh, il n'y a aucun mal.. . Voici un exemple simple qui pourra te permettre peut-être de comprendre.
Imaginons que j'ai 3 stylos différents, un bleu, un rouge, un noir. Combien puis-je en prendre aucun revient à faire , tu trouves bien 1, la seule manière de prendre aucun stylo, c'est de pas en prendre du tout.
est le nombre de façons différentes de prendre 1 stylo parmi tes 3, ici, tu peux donc prendre soit le bleu, soit le rouge, soit le noir; 3 choix différents.
, le nombre de nombre de façons de prendre 2 stylos parmi les 3, soit : le bleu et le rouge, le bleu et le noir ou le rouge et le noir, ici, 3 manières possibles.
, l'unique possibilité de tous les prendre... Donc, 1 manière.
On utilise souvent la calculatrice, car les nombres deviennent rapidement très grands !
Si tu veux plus de précision, je te conseille de regarder cette page => http://fr.wikipedia.org/wiki/Arrangement

Voilà voilà.. :ptdr:

[stephane61]

Oui merci c'est plus clair ! Donc quel que soit le nombre n si k est 0 il y aura qu'une solution et quel que soit le nombre n si k est = à n il y aura qu'une seule solution. Et pour tous les autres cas pour des petits nombres si je n'utilise pas la calculatrice le nombre de solutions correspond finalement à n. C'est ça ? Au tout cas j'ai compris pour votre exemple je cherche donc à comprendre bien pour aller plus vite en interro car j'ai souvent du mal à terminer à temps en 1h !

[Axiom]

Pour ou , oui, c'est ça, tu as compris mais attention, pour le reste, ça ne veut pas dire que le résultat sur forcément égale à .
Par exemple, on a 4 stylos, un bleu, un noir, un rouge, un vert; combien de manière différentes je peux en prendre 2 :
En effet, je peux choisir de prendre :
- le bleu et le noir
- le bleu et le rouge
- le bleu et le vert
- le rouge et le noir
- le rouge et le vert
- le vert et le noir
Soient 6 manière différentes, ce que tu as bien trouvé :lol3: .
De manière plus générale, les coefficients binomiaux s'obtiennent par la formule suivante :

Après je ne sais pas si ça t'aidera à aller plus vite en contrôle, mais c'est bien d'essayer de se détacher un peu de la calculette, à l'université ou en classe prépa, elle est interdite du reste... ^^'. Mais même sans ça, c'est important de comprendre ce qu'on fait ! :+++:

[stephane61]

Ok merci je vais me noter tout ça. Dernière question pour la formule que vous m'avez donnée pour obtenir les coefficients binomiaux : à quoi correspond le "!"?

[Axiom]

Il s'agit de la factorielle, un nombre noté vaudra :

Le nombre multiplié par tous les entiers avant lui.
Par exemple, 4! vaut : 4*3*2*1 = 24.
N.B : Au passage, pas convention 0! vaut 1.
Voilà voilà, bon courage pour la suite... :ptdr:

[stephane61]

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de m'aider et pour votre patience!! Je vais me faire une fiche. Très bonne soirée :)