Calcul d'une dérivé avec cos

par **Reznov** » 12 Mar 2013, 16:27

Bonjours, à tous, j'ai un petit un problème dans le calcul d'une dérivé.

En effet, C(t) = 500 - (1000/pi) * cos((1/30)*pi*t)

Je trouve C'(t)= 100 sin ((pi*t)/30) / 3

Le problème, c'est que je ne sais pas comment retrouver cet dérivé, pouvez vous m'aider svp ?
Merci d'avance, cordialement.

par **raph107** » 12 Mar 2013, 17:03

Il manque un signe - dans le résultat:
C'(t) = -100 sin ((pi*t)/30) / 3

Je n'ai pas bien compris ta question. Si on te demande de calculer d'une autre manière la dérivée, mets l'énoncé en entier de l'exo pour qu'on puisse voir le contexte et te suggérer une solution.

par **Reznov** » 12 Mar 2013, 17:14

raph107 a écrit:Il manque un signe - dans le résultat:
C'(t) = -100 sin ((pi*t)/30) / 3

Je n'ai pas bien compris ta question. Si on te demande de calculer d'une autre manière la dérivée, mets l'énoncé en entier de l'exo pour qu'on puisse voir le contexte et te suggérer une solution.

Un château d'eau approvisionne tout un village. Pendant les mois de juillet et aout la consommation C d'eau à l'instant t fluctue selon le modèle suivant:

C(t) = 500 - (1000/pi)*cos((1/30)*pi*t) t appartient [1;62] est exprmié en jours et C(t), le débit en m^3/jour

1) determiner la quantité d'eau consommé le 1er jour de juillet. Arrondir à l'unité
Je trouve 183 jours

2) Justifier que C admet un maximum que l'on déterminera.
C'est ici qu'il faut que je dérive la fonction.
Ensuite, normalement le maximum est 30.

3) a l'aide du tableau de valeur de calculatrice, calculer à 1m^3 près, le volume d'eau consommé par le village entre le 14 juillet et le 20 juillet.

J'ai eu l'idée de faire une intégrale de 14 à 20 mais je ne trouve pas la primitive.
OU c'est une integrale de 14 à 21 puisque 20 est inclus, mais je ne trouve pas la primitive pour la calculer.

4)a) demontrer que l'équation C(t)= 313 admet 2 solutions disctinctes a et b dans l'intervalle [1;62]

J'ai juste à dire que c'est décroissante, strictement et continue sur un intervalle et strcitement croissante continu sur un autre intervalle

b) Déterminer une valeur approchée de l'unité a et b.

Je ne l'ai pas encore fait

Voilà, tout est mis, merci d'avance.

par **raph107** » 12 Mar 2013, 17:23

Rectif de mon message précédent: ta dérivée est correcte et c'est moi qui n'ai pas vu le signe - après 500.

Dans l'exercice, on ne te demande pas de retrouver la dérivée. Tu bloques dans quelle question?

par **Reznov** » 12 Mar 2013, 17:30

Au fait, c'est le prof qui a donné la dérivé mais je n'arrive pas à la retrouver.
Soit les étapes pour la trouver.

par **Reznov** » 12 Mar 2013, 17:50

Et je bloque aussi question 3

par **raph107** » 12 Mar 2013, 17:55

Reznov a écrit:Au fait, c'est le prof qui a donné la dérivé mais je n'arrive pas à la retrouver.
Soit les étapes pour la trouver.

On va y aller par étapes:

La dérivée de cos(at) est -a*sin(at). Dans ton exercice ce qui joue le role de a est pi/30.
Donc (cos((pi/30)*t)))' = -(pi/30)*sin((pi/30)*t)) et on déduit que:
C'(t) = 0 - (1000/pi)*[-(pi/30)*sin((pi/30)*t))] = (1000/pi)*[(pi/30)*sin((pi/30)*t))]
= (1000/30)sin((pi/30)*t)) = (100/3)sin((pi/30)*t))

Pour la 2 tu trouves les valeurs de t qui annulent la dérivée dans l'intervalle [1;62] en résolvant l'équation:
C'(t) = 0 ce qui revient à résoudre sin(pt/30) = 0, tu trouveras 2 valeurs t = 30 et t= 60, tu traces le tableau de variations en utilisant le signe de C'(t).

Pour la 3 il faut juste faire un tableau de valeurs pour t allant de 14 à 20 et additionner les résultats obtenus: C(14)+C(15)+...+C(20)

Fais déjà ça et si tu bloques tu reviens

par **Reznov** » 12 Mar 2013, 18:04

En effet, j'ai procédé comme toi pour la question 3 auparavant et j'ai trouvé, 3953 m^3

Pour la question 2, j'ai trouvé la fonction s'annuler à 30 et 60 mais montre un maximum seulement à 30 et un minimum à 60.
L'image de 30 est: (1000/pi) +500 = 818
L'image de 60 est (500 - 1000/pi) = 182

image de 1 est: 500- (1000-cos(pi/30)) / pi = 183
image de 62 est: 500 - (1000 - cos(31-pi / 15)) = 189

J'avais fais un tableau de valeur pour trouver ces résultats.
Bien sur, le signe de la dérivé est: positif de [1;30]; négative sur [30;60] et positive sur [60;62].
Donc f croissante puis décroissante puis de renouveau croissant.

C'est bien cela ?

par **raph107** » 12 Mar 2013, 18:14

Reznov a écrit:En effet, j'ai procédé comme toi pour la question 3 auparavant et j'ai trouvé, 3953 m^3

Pour la question 2, j'ai trouvé la fonction s'annuler à 30 et 60 mais montre un maximum seulement à 30 et un minimum à 60.
L'image de 30 est: (1000/pi) +500 = 818
L'image de 60 est (500 - 1000/pi) = 182

image de 1 est: 500- (1000-cos(pi/30)) / pi = 183
image de 62 est: 500 - (1000 - cos(31-pi / 15)) = 189

J'avais fais un tableau de valeur pour trouver ces résultats.
Bien sur, le signe de la dérivé est: positif de [1;30]; négative sur [30;60] et positive sur [60;62].
Donc f croissante puis décroissante puis de renouveau croissant.

C'est bien cela ?

Oui c'est ça. Le tableau de variation te donne 2 maximums locaux, 1 pour t = 30 et le deuxième pour t = 62 et comme 833>189, le maximum global est 818 qui est obtenu pour t = 30.

par **Reznov** » 12 Mar 2013, 18:22

Merci beaucoup raph :)

par **Reznov** » 12 Mar 2013, 18:25

Oh attend s'il te plait.

En refaisant le calcul de la question 3, je trouve 4515.34 :(

par **Reznov** » 12 Mar 2013, 18:27

Ba oui, puisque le 20 est inclus, je le compte aussi donc cela fait 4519,34 non ?

par **raph107** » 12 Mar 2013, 18:43

Oui 14 et 20 sont inclus. Pour les résultats je ne peux pas confirmer puisque je n'ai pas fait les calculs

par **Reznov** » 12 Mar 2013, 18:45

Donc c'est bon, cela fait bien 4515 m^3

Merci :)

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