Calcul de racines

[Ceciled]

Bonjour,
Je cherche à trouver les solutions de l'équation suivante:
(e-1)*ln( x) - x +1 =0

Merci d'avance

[infernaleur]

Salut, déjà sur quelle domaine est définit la fonction f définie par f(x)=(e-1)*ln( x) - x +1 ???
As-tu essayé de voir avec la calculatrice que pouvait-être les éventuelles solutions (et combien il semble y avoir de solutions )??

[Ceciled]

Oui je connais les solutions: 1 et e.
Lorsque l on fait quelques calculs par symétrie on les trouve facilement, mais elles ne sont pas démontrées, c'est juste par " observation". Aussi j'aimerai bien démontrer le résultat.
La fonction est définie sur ]0;+infini[ je crois.

[Ceciled]

J'ai aussi étudié les variations de f elle est décroissante puis croissante. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation a 2 solutions. Maintenant je n arrive vrmt pas à démontrer quelles sont elles.

[infernaleur]

Tout ce que tu as dit est exact est c'est très bien ce que tu as fait puisque tu as finis ^^
En gros tu as montré avec le tableau de variation et le corolaire du TVI (ou théorème de bijection il me semble que vous appelé ça comme ça au lycée) que l'équation admet exactement deux solutions (une où la fonction est croissante et l'autre où la fonction est décroissante).
Donc cela te montre qu'il y a seulement deux solutions donc si t’arrive à les trouvé leurs valeurs exactes t'as gagné (des fois c'est pas possible d'avoir des valeurs exacte mais seulement des valeurs approchés avec l'algorithme de dichotomie qu'on a du t'enseigner).

Mais comme tu as constaté graphiquement que 1 et e sont solutions (on vérifie aussi très facilement par le calcul que f(1)=0 et f(e)=0 donc c'est effectivement bien des solutions) .

Donc les solutions sont 1 et e et il n'y en a pas d'autres !

[chan79]

J'ai aussi étudié les variations de f elle est décroissante puis croissante. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation a 2 solutions. Maintenant je n arrive vrmt pas à démontrer quelles sont elles.

salut
c'est plutôt "croissante puis décroissante"

[Ceciled]

Merci beaucoup!
Oui c'est bien croissante puis décroissante pardon j'avais aussi fait le travail pour la fonction opposée merci à vous.

[Lostounet]

Merci beaucoup!
Oui c'est bien croissante puis décroissante pardon j'avais aussi fait le travail pour la fonction opposée merci à vous.

La méthode expliquée plus haut est celle qui est attendue.
Mais à un niveau plus élevé pour le fun, les équations de la forme a*ln(x)+bx+c=0 peuvent s'exprimer avec la 'fonction' W de Lambert (et pas toujours explicitement).
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Fonction_W_de_Lambert
Paragraphe exemples d'application.

[Ceciled]

Ah super merci c'est exactement ce que je cherchais !

[Lostounet]

Ah super merci c'est exactement ce que je cherchais !

Par contre attention ce n'est pas vraiment une vraie fonction comme celles connues au lycée. Elle a plusieurs branches etc...

Mais au moins elle est plus ou moins 'standard' en science.