Calcul Matriciel

[Lucasc68]

Bonjour à tous ! Merci encore à votre communauté pour votre aide précieuse !

Je voulais savoir si je pouvais vous soumettre une correction à un exercice de calcul matriciel !

Merci d'avance !

Voici le sujet et mes travaux :

[Lostounet]

Salut,
C'est plutôt bien a priori mais il faudrait peut-être détailler un peu plus d'où sort cette matrice A^(-1).

Comme tu as montré que A(A^2- I) = 4 I
C'est que A*(1/4* A^2 - 1/4 I) = I (ce petit calcul qui est le plus important n'apparait pas sur ta copie).

Donc en prenant B= ... On a bien AB=I

[aymanemaysae]

Bonjour;


Une autre façon de faire :

On a : ; donc : ;

donc on a : ;



donc : ; donc : ;

donc il existe tel que .

[Lucasc68]

Merci pour ces réponses ! Oui j'ai été trop rapide, j'aurai dû démontrer un peu plus comme vous l'avez fait ! Je recommencerai ce même exercice plus tard pour me faire retravailler les méninges en pensant à être plus précis !

[pascal16]

de plus A et A commutent, donc c'est l'inverse à gauche et à droite de A, ie AB=BA=Id

[aviateur]

de plus A et A commutent, donc c'est l'inverse à gauche et à droite de A, ie AB=BA=Id

Bonjour
Parce dans (ou ) tu crois qu'il y a des matrices qui ont un inverse à gauche qui ne serait pas inverse à droite?

[pascal16]

C'est la question que je trouve faite comme ça, elle demande juste de trouver une matrice ( inverse à droite), sans dire que c'est l'inverse, je trouve ça frustrant pour les élèves.
Rajouter AB=BA=Id, B est alors appelé l'inverse de A prépare mieux le terrain pour la suite à mon goût, surtout quand l'élève écrit déjà A⁻¹.

[aviateur]

Rebonjour
@pascal je n'ai rien contre ta remarque sauf qu'elle pourrait faire croire à un néophyte qu'il existe des inverses à droite qui ne sont pas des inverses.
Normalement, il sait que ce n'est pas le cas mais s'il ne le sait pas ta remarque est fondée. Mais alors il faut bien préciser qu'ici "l'inverse à droite" et aussi l'inverse, pas uniquement sur cet exemple mais que c'est général.
D'où mon intervention.

Ceci étant dit pour le démontrer on peut le faire grâce au théorème de Cayley-Hamilton (d'ailleurs ici c'est Cayley-Hamilton qui est utilisé sans le dire).
Un bon petit exo d'algèbre intéressant serait de démontrer que si AB=I alors BA=I (sans passer par Cayley-Hamilton. )

[Lostounet]

Un bon petit exo d'algèbre intéressant serait de démontrer que si AB=I alors BA=I (sans passer par Cayley-Hamilton. )

On fait comment sans Cayley-Hamilton ? :p

[aviateur]

Salut @ Lostounet, Et bien on peut le faire avec des moyens relativement simples .
Soit dans (ou ) et I la matrice identité.
Si dans E on a AB=I.
Soit X un vecteur (colonne de taille n) qcq et posons Y=BAX.
On a alors AY=ABAX=IAX=AX. Autrement dit A(Y-X)=0.
Si on montre que AU=0 implique U=0, c'est fini. En effet On aura Y=X, i;e BAX=X pour tout X, ;e BA=I.

Montrer que AU=0 implique U=0.

On a BU appartient à Im(B). Or si on considère la restriction noté B' de B à Im(B) alors B' est bijectif.
En effet par définition de B', B' est surjectif. Mais injectif aussi car B est injectif (en effet BX=0 implique ABX=0=X).
Donc il existe tel que BU=BW. Autrement dit B(U-W)=0. Mais comme on vient de le voir B est injectif donc U=W.
On a donc un élément U qui est à la fois dans Ker (A) et Im (B).
Cependant La relation ABX=X , pour tout X montre que
U=0. cqfd

remarque: j'ai évité d'utiliser le théorème du rang pour que la démonstration soit valable avec un minimum de connaissance .

[Lostounet]

Merci Aviateur
Un bon petit rappel

[pascal16]

l'élève qui se pose des questions pourra toujours en apprendre plus