Un Calcul de Cos(pi/5)

[miniatio]

Bonjour j'ai un DM de Maths à faire et j'ai besoin d'aide, or la prof donne un DM avant de commencé le cours sur le chapitre. Voici l'énoncé:
1. z est un nombre complexe et z' = 1 + z + z² + z^3 + z^4.

a) Vérifier que si z différent de 1 alors z' = (1-z^5) / (1-z)
Pour ce la je fais:
(1-z^5) / (1-z) = [(1-z5)(1+z)] / [(1-z)(1+z)]
= (1+z-z5-z6)/(1-z²)
Mais apres sa je n'arrive pas prouvé qu'il est égale à z' .

b) En déduire la valeur de :
1+ cos2pi/5 + cos4pi/5 + cos6pi/5 + cos8pi/5

3.a) Montrer que cos2pi/5+ cos8pi/5 = 4cos²pi/5-2
b) Montrer que cos4pi/5 + cos6pi/5 = -2cospi/5

4. a) En déduire que cospi/5 est solution de l'équation: 4x²-2x-1=0

b) Résoudre cette équation et donner la valeur exacte de cospi/5.

Piste du livre: question 3.A et b. Utiliser les mesures principales et les formules de duplication et des angles associés pour le Cosinus.

[siger]

bonjour

il est plus simple de montrer que (1-x) *( 1+x²+x^3+x^4) = 1-x^5

exprimer le nombre z en fonction de l'exponentielle e^îa
z² = e^2ia, ...


a = pi/5
A= cos(2a) + cos(8a) = cos (2a) + (cos(10a - 2a) avec 10a = 2pi
d'ou cos(2pi-2a) = cos(2a)
A= 2 cos(2a) = .......

cosx + cosy = 2(cos(x+y)/2 * cos(x-y)/2 )
......

[miniatio]

pour le 1 c'est bon j'ai compris merci. Mais pour le 2 je ne comprend pas du tout :/

[siger]

pour le 1 c'est bon j'ai compris merci. Mais pour le 2 je ne comprend pas du tout :/

re

cherches comment tu peux utiliser les resultats de la question precdente
ou
comment passer du nombre complexe au cosinus de l'argument avec des arguments qui sont proportionnels a la puissance du nombre complexe
arg(z) = a,.. , arg(z^n) = na
...
soit en passant a la forme exponenrtielle des nombres complexes
soit en utilisant la formule d'Euler et la formule de Moivre puis en considerant les parties reelles.....

[Carpate]

Bonjour j'ai un DM de Maths à faire et j'ai besoin d'aide, or la prof donne un DM avant de commencé le cours sur le chapitre. Voici l'énoncé:
1. z est un nombre complexe et z' = 1 + z + z² + z^3 + z^4.

a) Vérifier que si z différent de 1 alors z' = (1-z^5) / (1-z)
Pour ce la je fais:
(1-z^5) / (1-z) = [(1-z5)(1+z)] / [(1-z)(1+z)]
= (1+z-z5-z6)/(1-z²)
Mais apres sa je n'arrive pas prouvé qu'il est égale à z' .

b) En déduire la valeur de :
1+ cos2pi/5 + cos4pi/5 + cos6pi/5 + cos8pi/5

3.a) Montrer que cos2pi/5+ cos8pi/5 = 4cos²pi/5-2
b) Montrer que cos4pi/5 + cos6pi/5 = -2cospi/5

4. a) En déduire que cospi/5 est solution de l'équation: 4x²-2x-1=0

b) Résoudre cette équation et donner la valeur exacte de cospi/5.

Piste du livre: question 3.A et b. Utiliser les mesures principales et les formules de duplication et des angles associés pour le Cosinus.

Tu peux aussi écrire que z' est la somme des 5 premiers termes de la progression géométrique de premier terme 1 et de raison q= z

soit :

[miniatio]

Salut :)
merci pour vos aides. @siger je ne comprenais pas, parce que tu m'as mis de a mais apres j'ai capté en faisant la calcule à mon coté mais je bloque au bout d'un certain temps : tu peux voir qu'est ce que je peux faire de plus sur ma calcule:
z' pour z=exp(2i*pi/5)

= 1 + e^2ipi/5 + (e^2ipi/5)² + (e^2ipi/5)^3 + (e^2ipi/5)^4
= 1 + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) ² + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5)^3 + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) ^4
= 1 + cos 2pi/5 + i sin 2pi/5 + cos 4pi/5 + i sin 4pi/5 + cos 6pi/5 + i sin 6pi/5 + cos 8pi/5 + i sin 8pi/5

Voilà apres je ne sais pas quoi faire avec tous ces chiffres là .

[siger]

Identifie les parties réelles et imaginaires avec celles de (1-z^5)/(1-z)

[miniatio]

z'= 1-[(cos2pi)+(isin2pi)] / [(1-cos2pi/5)+(isin2pi/5)] ???

[siger]

commence par ecrire z' sous la forme A +iB en multipliant le denominateur par (1-cos2pi/5)-(isin2pi/5)
(1-z^5)/(1-z) = A+iB
pour identfier les cosinus avec A
........

[Ben314]

Sans vouloir vexer personne, à ta place, je regarderais bien comme il faut combien il vaut le numérateur de z' avant de faire des calculs avec le dénominateur... :zen:

[siger]

hum....evidemment!

merci.