Calcul avec nombres complexes

[Rockleader]

Bonjour, j'aimerais avoir des éclaircissements sur les opérations avec les nombres complexes...


On a deux nombres:

z = 3 + 2i
z'= 2-4i



Si je fais:

z+z' = (3+2i)+(2-4i) =5-2i

C'est bien ça ?

Si j'ai une multiplication

z*z'=(3+2i)(2-4i) = 6 -12i +4i -8 *(-1) =14 - 8i




Jusque là je pense pas qu'il y ait de problème, mais c'est pour passer à la division que j'ai des soucis...

z/z' =z*(1/z')


C'est la que rentre les histooire de modules et de conjugué.


L'inverse de z', ça va être le conjugué de z' divisé par le carré du module, si j'ai bien compris ?

Mais comment trouvé le conjugué et le module, ça je comprends pas d'où on les sorts...

[Teacher]

C'est quoi un module ?

[Rockleader]

C'est quoi un module ?

Ben si je le savais je n'aurais pas posé la question^^

[Teacher]

Tu es en quelle classe ? tu as eu un cours sur les complexes ?

[Rockleader]

Je suis en Ts...et oui on a un une rapide introduction au complexe...mais je n'ai pas compris la partie en question qui parle de module et de conjugué...


Bon, en fait, j'ai une petite idée sur le module, c'est la racine carré de la partie imaginaire additionné à la partie réelle, du moins c'est ce que j'en ai compris.

En revanche, pour le conjugué je n'ai rien compris du tout....

[Teacher]

Ouvres ton livre ? Je ne sais pas je ne vais pas te faire un cours ?

[Rockleader]

Notre prof nous a dis que le livre nous servait à rien --' que tous ce qu'on nous fait faire dedans n'a pas vraiment d'utilité...

M'enfin bon, je vais quand même aller y faire un tour...je reposterai si je n'ai rien trouvé...

[Rockleader]

Bon, j'aimerais savoir si le calcul est correct.

z/z'=z*(1/z) = (3+2i)* (2+4i)/(2-4)²


Je n'ai volontairement pas simplifié et devellopé tout ça pour voir si la méthode de calcul est la bonne.

[Sylviel]

Pas tout à fait.

Une explication rapide des complexes :
- un nombre complexe peut être vu comme un point du plan. Il a alors deux représentations possible :
--> une représentation cartésienne, algébrique classique : z = a+ib, a correspond aux absisses, b correspond aux ordonnées.
--> une représentation "polaire" : z = r e^(i*theta) : r, le module, est la distance à l'origine, et theta est l'angle au centre (cf ton cours, je suis sûr qu'il y a un schéma).

Le module est donc, d'après pythagore, |z|²=a²+b². Par ailleurs le conjugué d'un nombre z=a+ib est par définition (il s'agit du symétrique par rapport à (Ox)). Ainsi .
Ainsi pour diviser deux nombres complexes z/z' une astuce est de multiplier par le conjugué de z' en haut et en bas. Ainsi on obtient .

[Rockleader]

Ok.

Et pour le schéma non on ne l'a pas fait...on a même pas parlé des coordonnées polaires..mais bon ça je l'avais vu en 1-ère donc...



Le bon calcul ce serait donc:



z/z'=z*(1/z) = (3+2i)* (2+4i)/(2+4i)² ???

[Sylviel]

Non :briques: relis mon post et corrige par ce qu'il faut.

[Rockleader]

Je crois que je me suis embrouillé là :mur:


Bon allez je réessaye =)


Je vais me contenter de 1/z' pour le moment =)

1/z'= Conjugué de z' / Iz'I²


z' vaut 2-4i Donc le conjugué de z' vaut 2+4i

Et le module de z' vaut (2-4i)²


on a donc 1/z'= 2+4i/(2-4i)² ???

[Sylviel]

Non le module d'un complexe c'est sa distance à 0 ! donc si le complexe vaut a+ib ça vaut \sqrt{a²+b²}

[Rockleader]

Donc le module c'est (2²+(-4)²) ???

[Sylviel]

oui, en fin la racine de cette valeur.
Je répète : c'est la distance à 0, donc fait un petit schéma, trouve le triangle rectangle en jeu, et applique pythagore pour comprendre et retenir cette relation...

[Rockleader]

ok je vais le faire