Je bloque sur un problème d'algèbre

[eric_the_snake]

Bonjour,

Je bloque actuellement sur la résolution de l'inéquation suivante :

(1/x+1/4)/(1/x-1/4) <= 1

Le cahier d'exercices donne la réponse suivante : ]-infini,0] U ]4,infini[

Pourtant, après plusieurs tentatives, je n'arrive pas à cette réponse.

Mon raisonnement est le suivant :

(1/x+1/4)/(1/x-1/4) <= 1
((1/x+1/4)/(1/x-1/4))-1 <= 0
((1/x+1/4)/(1/x-1/4))-((1/x-1/4)/(1/x-1/4)) <= 0
(1/x+1/4-1/x+1/4)/(1/x-1/4) <= 0
(1/2)/(1/x-1/4) <= 0

Ici, comme le numérateur est chiffre positif, la seule possibilité de vérifier l'inéquation est que

(1/x-1/4) < 0

Donc :

(1/x-1/4) < 0
(1/x) < 1/4
x>4

Ou est mon erreur?

Merci,
ETS

[ampholyte]

(1/x+1/4)/(1/x-1/4) <= 1

Ici tu as une identité remarquable (a-b)(a+b) = a² - b².

Tu devrais développer et tout multiplier par x², tu auras ainsi une inéquation à résoudre du second degré.

[chan79]

(1/x-1/4) < 0

ensuite tu fais un tableau de signes, par exemple (valeurs de x à mettre: 0 et 4)

[kabakas]

Le cahier d'exercices donne la réponse suivante : ]-infini,0] U ]4,infini[

cette solution est fausse !

preuve :

le -1/2 n'est pas une solution :

(-2+1/4)(-2-1/4)=(-7/4)(-9/4)=63/15 > 1

:lol3:

[kabakas]

la solution est peut-être la suivante :

s=]-infini ; -4rac17/17] U [4rac17/17 ; +infini[

[chan79]

(1/x-1/4) < 0

ensuite tu fais un tableau de signes, par exemple (valeurs de x à mettre: 0 et 4)

si 4x(4-x)<0
4x(4-x) s'annulle pour 0 et 4
ce trinôme est négatif à l'extérieur des racines puisque le coefficient de x² est négatif
l'ensemble des solutions est ]-inf,0[ U ]4,+inf[
0 et 4 ne font pas partie des solutions
@kabakas
-1/2 est solution
il y a une barre de division entre les deux parenthèses

[eric_the_snake]

[quote="chan79"][TEX]\fra{4-x}{4x} 0
ou
(4-x) > 0 et 4x 4


Merci,
ETS

[chan79]

Ca marcherait pour x>0

Des nombres de même signe sont rangés dans l'ordre contraire à celui de leurs inverses
Ta méthode te permet de trouver seulement les solutions positives.
0 n'est pas solution, comme semble l'indiquer ton cahier