Blocage sur la Trigonométrie

[Julien34235]

Bonjour, je bloque sur ces deux exercice de Trigo, quelqu'un pour m'aider ?
j'ai le droit d'utiliser le théorème du Sinus, du Cosinus, les relations de sin/cos/tan dans un triangle rectangle etc Mais pas des théorèmes de trigo éventuellement plus élaborés que j'ai pas vu du coup..



1.
ABCD est un quadrilatère avec ∠DAC = ∠CAB = 55°, ∠ACD = 15° et ∠BCA = 20°.
Calculer ∠ADB


2.
Jule et Inès se trouvent à l'intersection de deux très longues avenues rectilignes formant entre elles un angle de 105°. Jule commence à marche le long de la première avenue à la vitesse de 4km/h alors que Inès s'élance sur la seconde d'un pas alerte : 6km/h. Sachant que leur téléphones ne peuvent être connectés que s'ils sont distants de moins de 16 km, pendant combien de temps nos deux personnages pourront-elles garder le contact?


Quelqu'un pour m'aider? Merci d'avance !

[mathelot]

Bonsoir,
on suppose connues la loi des sinus et la formule d'Al-Kashi

Exercice 1

D'après les données du problème, il manque les longueurs des côtés, en particulier,
on va fixer AC=1
i) Dans le triangle ABC , on applique la loi des sinus et l'on calcule les longueurs AB,BC (et AC connu)
ii) Dans le triangle ACD, , avec la loi des sinus, on calcule AD et CD (et AC connu)
iii) Par AL-kashi, on calcule
iv) Avec la loi des sinus, dans le triangle ADB, on calcule
v) On en déduit la mesure de l'angle

Applications numériques:

AB=0,354 085 308
BC=0,848 048 600
AC=1
AD=0,275 429 475
CD=0,871 723 398
BD^2=0,267 949 192
BD=0,517 638 090
=0,642 787 610

40 degrés

Remarque:
Si on relit les calculs, toutes les longueurs sont proportionnelles à la longueur AC , qui se simplifie à la fin,lors d'un quotient.
pour cette raison, on pose AC=1

[mathelot]

Exercice 2:
On nomme O le point d'intersection des deux demi-droites, J le point tel que OJ est la distance parcourue par Jules, OI la distance parcourue par Inès.
OI et OJ sont des fonctions du temps t. Indiquer ces deux fonctions.

Calculer .
La distance IJ est fonction de la durée t.
Résoudre l'inéquation d'inconnue t:

Convertir la durée t, exprimée par un nombre décimal en heure,minutes,secondes .


Application numérique: Jules et Inès resteront en contact téléphonique durant 1 heure , 59 minutes,36 secondes.

[mathelot]

démo loi des sinus:

Soit ABC un triangle , pour les longueurs des côtés, on pose a=BC, b=AC, c=AB
Soit h la hauteur issue du sommet A:
Aire de ABC=

Comme le triangle a trois hauteurs et une seule aire, il vient;
Aire

on divise les trois égalités par (1/2) abc:



Les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés.

démo du théorème d'Al-Kashi , avec le produit scalaire de deux vecteurs

dans un triangle ABC:





C'est donc une généralisation du thm de Pythagore pour un triangle quelconque,