Bissectrices, projetés orthogonaux.

[aufo]

Bonjour,
je n'arrive pas à résoudre la dernière question de cet exercice.
J'espère que vous pourrez m'aider.
Merci d'avance.

On considère un triangle ABC. K est le point d'intersection de la bissectrice de l'angle BAC et du coté [BC]. Les points H et H' sont les projetés orthogonaux de point K respectivement sur (AB) et (AC). Le point A' est le projeté orthogonal du point A sur (BC).

1°) Justifier les égalités suivantes : KH x AB = KB x AA' et KH' x AC = KC x AA'

2°) En déduire que : KB/KC = AB/AC

3°) En Application : on considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 2AC. Soit K le point du segment [BC] tel que KB = 2KC. Justifier que le droite (AK) est la bissectrice de l'angle BAC

[aeon]

Tu as fait le plus dur :

dans les questions précédente, tu as montré que
"K est l'intersection de la bissectrice de A et de BC" est équivalent à "KB/KC = AB/AC"

Autrement dit, si dans ton exemple pratique tu arrives à démontrer que "KB/KC = AB/AC" alors on peut en déduire que "K est l'intersection de la bissectrice de A et de BC"

Je te laisse démontrer que "KB/KC = AB/AC"

[aufo]

Merci beaucoup mais je n'arrive justement pas à démontrer cette égalité..
Pouvez-vous me lancer sur la voie svp ?
Merci d'avance.

[aufo]

Que dois-je utiliser svp ?

[yvelines78]

bonsoir,

1)exprime l'aire de AKH de 2 façons différentes
exprime l'aire de AKC"""""""""""""""""""""""""""""""""

2)KH*AB=KB*AA' (1)
KH'*AC=KC*AA' (2)
(1)/(2)=KH*AB/KH'*AC=KB*AA' /KC*AA'
K appartient à la bissectrice de BAC-->KH'=KH (tous points appartenant à la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés de cet angle)
--->AB/AC=KB/KC

3) formule à utiliser en réciproque :
prouver que KB/KC=.... et AB/AC=......

[aufo]

Oui, tout cela, j'ai réussi à le démontrer ..
Mais je ne sais pas comment continuer pour arriver à démontrer que (AK) est une bissectrice..
Merci pour votre aide.

[Huppasacee]

Sans tenir compte de la démonstration précédente ,

peux-tu calculer sin CAK et sin BAK et démontrer qu'ils sont égaux ?

Ne tiens pas compte de cette remarque , Bêtise
Excuse moi

[Huppasacee]

posté par yvelines 78

2)KH*AB=KB*AA' (1)
KH'*AC=KC*AA' (2)
(1)/(2)=KH*AB/KH'*AC=KB*AA' /KC*AA'

le but est de démontrer que KH = KH'

et lorsque KH =KH', H et H' étant les projetés orthogonaux du point K sur les côtés d'un angle

alors K appartient à la bissectrice de cet angle
c'est une propriété géométrique

c'est de là que vient le fait que les bissectrices , dans un triangle , se croisent au centre du cercle inscrit à ce triangle