Barycentre et produit scalaire dans l'espace (terminale S)

par **Anonyme** » 31 Mar 2006, 18:58

Bonsoir à tous.
J'ai un problème sur un exercice dans l'espace.
Je vous donne l'énoncé:

"calculer les coordonnées de l'isobarycentre G des points A (10 , 5, -10), B (-1 , -15, 17) et C (2,20,21)
Vérifier que A, B et C déterminent un plan P et que G est le projeté orthogonal de M (-10,5,5) sur le plan P".

Bon voilà, on sait que l'isobarycentre de trois points A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC et je me suis rapporté à l'égalité suivante: vecteur (AG) = 2/3 du vecteur (AA'), A' étant le milieu du segement [BC].
Ensuite, je calcule les coordonnées du vecteur AA', après avoir calculer celles de A', mais je tombe sur un résultat bizarre: je trouve en coordonnées (-19/3,-5/3 ,58/3). Enfin bon je continue et je pose les équations simples:
XG-XA= 19/3
YG-YA= -5/3
ZG-ZA= 58/3
ainsi j'essaie de déterminer les coordonnées de G mais est ce que c'est la bonne méthode? (j'ai l'impression que je me complique et que c'est faux)

Pour le plan P, j'ai mis que A, B et C sont des points distincts de l'espace et qu'il constituent donc un plan (ABC), noté P.

Enfin, pour démontrer que G est le projeté orthogonal de M (-10,5,5), j'ai voulu démontrer que vecteur (AB) scalaire vecteur (MG)= 0 et que vecteur (BC) scalaire vecteur (MG)= 0, ce qui prouverait que la droite (MG) est orthogonale à deux droites sécantes du plan P, et donc qu'elle serait orthogonale à P==> G serait bien le projeté orthogonal de M sur P.
Mais malheureusement, je n'arrive pas à démontrer ces produits scalaires et j'ai l'impression une fois de plus que ce n'est pas une bonne méthode.

Pourriez-vous m'aider s'il vous plait?
Merci

par **tigri** » 31 Mar 2006, 19:15

bonsoir

ta méthode est possible, mais il doit y avoir des erreurs je ne serais d'accord qu'avec le résultat de z (sauf erreur de ma part) ; de toute façon tu n'as pas fini , puisqu'il faudrait remplacer les coordonnées de A, pour trouver celles de G

il me semble plus simple de chercher x, y, z, coordonnées de G tel que, en vecteurs, on ait : GA+GB+GC=O (traduire cette égalité à l'aide des coordonnées)

par **tigri** » 31 Mar 2006, 19:19

3 points distincts de l'espace, ne définissent pas nécessairement un plan (ils peuvent être distincts et alignés par exemple)

si 3 points distincts définissent des vecteurs non colinéaires , alors ils déterminent un plan

par **Anonyme** » 31 Mar 2006, 19:25

D'accord, je comprend mieux.
Je te remercie pour ton aide, je pense que je vais pouvoir terminer tout seul.
Bonne soirée et merci encore!

par **Anonyme** » 31 Mar 2006, 19:40

Mince, j'ai bien refais ta méthode sur les coordonnées mais je trouve toujours le même résultat: je trouve pour les coordonnées de G (11/3, 10/3, 28/3).
Est ce que c'est logique?

par **tigri** » 31 Mar 2006, 19:45

tes résultats sont justes, j'ai recompté aussi

par **tigri** » 31 Mar 2006, 19:50

ton idée pour justifier que G est le projeté orthogonal de M sur le plan est bonne, les calculs des produits scalaires donnent bien 0

par **Anonyme** » 31 Mar 2006, 19:59

D'accord, je me suis donc trompé dans mes calculs sur les produits scalaires.
Je te remercie d'avoir consacré du temps pour mon exercice c'est simpa de ta part.
Je te souhaite bon week end et à une prochaine fois peut être!

par **tigri** » 31 Mar 2006, 20:05

merci, mais c'est avec plaisir; bon week-end à toi aussi !

Barycentre et produit scalaire dans l'espace (terminale S)

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