[1ère S] Barycentre de 3 points sur médiatrice ?

par **Yumeno** » 28 Oct 2006, 10:20

Bonjour,

Je suis en train de faire un exercice de mathématiques et une question m'a traversé l'esprit.

Je viens de trouver qu'un point E est le barycentre de (A, -3), (B, 2) et (C, -3). La question suivante me demande d'en déduire que E appartient à la médiatrice de [AC]. On voit effectivement que A et C sont affectés du même coefficient, mais peut-on faire abstraction du point B et ainsi dire que E est l'isobarycentre de A et C, ou bien faut-il axer le raisonnement sur une autre piste ?

Si c'est la deuxième option qui est à envisager, pourriez-vous me mettre sur la voie ? Merci d'avance.

par **Zebulon** » 28 Oct 2006, 10:33

Bonjour,
c'est avec plaisir que je vous réponds ! En effet, c'est le premier message que je lis sans faute de français depuis très longtemps ! D'autant plus que cette question est cohérente.
Non, on ne peut pas dire que E est l'isobarycentre de A et C, parce qu'on ne peut pas oublier B. On ne pourrait le faire qu'à une condition : si la pondération est de B était 0.
Il faut donc chercher ailleurs, mais pas si loin. Oui, ça sent l'isobarycentre de A et B là-dedans (c'est-à-dire le milieu de A et B).
Que signifie E est sur la médiatrice de [AC]? Cela veut dire que si on appelle Z le milieu de [AC], la droite (EZ) coupe [AC] perpendiculairement.
Montrez que B est sur la médiatrice de [AC].
Montrez que E est sur la droite (BZ).
Déduisez-en que E est sur la médiatrice de [AC].

par **Yumeno** » 28 Oct 2006, 10:43

Merci pour votre réponse si prompte ! Vos remarques me touchent, je suis flatté.

Effectivement, votre démonstration est parfaitement logique, mais il y a tout de même un détail qui me chiffonne. La question me demande de déduire du fait que E est le barycentre de (A, -3), (B, 2) et (C, -3) qu'il appartient à la médiatrice de [AC]. Or, je ne vois pas comment utiliser cette réponse dans le raisonnement, que j'ai entamé par :

Appelons Z le milieu de [AC].
ABC est un triangle équilatéral [...] donc (BZ) est la médiatrice de [AC]. (J'avais oublié de mentionner que ABC était un triangle équilatéral dans mon premier message.)

Voilà...

par **Zebulon** » 28 Oct 2006, 10:55

Yumeno a écrit:J'avais oublié de mentionner que ABC était un triangle équilatéral dans mon premier message.

Je m'en étais doutée.

Yumeno a écrit:Appelons Z le milieu de [AC].
ABC est un triangle équilatéral [...] donc (BZ) est la médiatrice de [AC].

C'est très bien. Maintenant, il faut utiliser la propriété d'"associativité des barycentres" : sauriez-vous exprimer E comme barycentre de B et Z, avec les bonnes pondérations? Il faut utiliser le fait que E est le barycentre de {(A,-3),(B,2),(C,-3)} et que Z est le milieu de [AC].
En supposant que vous y arriviez, déduisez-en que E est sur la droite (BZ).
Conclusion...?

par **Yumeno** » 28 Oct 2006, 11:00

Merci !

A la limite, même si la pondération des points s'avérait fausse, le raisonnement paraîtra correct puisque le barycentre de deux points est aligné avec lesdits points...

Cela dit, j'ai ajouté à mon raisonnement :

Z est le milieu de [AC] donc il s'agit de l'isobarycentre de A et C.
Ainsi, d'après le théorème d'associativité, E est le barycentre de (B, 2) et (Z, -6 ?).

Or, le barycentre de 2 points est aligné avec ces deux points, donc E appartient à la médiatrice de [AC].

par **Zebulon** » 28 Oct 2006, 11:08

C'est ça, sauf... le 0. En effet, que signifierait que E est le barycentre de {(B,2),(Z,0)}? Cela voudrait dire que

, c'est-à-dire

, autrement dit B=E. Ce serait un cas évident (bien que possible) où E est sur la médiatrice de [AC].
D'où il sort, votre 0?

par **Zebulon** » 28 Oct 2006, 11:09

Yumeno a écrit:Merci !

A la limite, même si la pondération des points s'avérait fausse, le raisonnement paraîtra correct puisque le barycentre de deux points est aligné avec lesdits points...

Cela dit, j'ai ajouté à mon raisonnement :

Z est le milieu de [AC] donc il s'agit de l'isobarycentre de A et C.
Ainsi, d'après le théorème d'associativité, E est le barycentre de (B, 2) et (Z, -6 ?).

Or, le barycentre de 2 points est aligné avec ces deux points, donc E appartient à la médiatrice de [AC].

Cette fois, je suis d'accord !
C'est très bien, vous avez tout compris ! :++:

par **Yumeno** » 28 Oct 2006, 11:22

Eh bien, merci beaucoup pour votre aide. La question suivante me demande de calculer la distance BE, je vais m'y atteler mais il se pourrait bien que j'aie à nouveau besoin d'aide !

Pour le 0, j'avais calculé trop vite et avais fait -3+3 alors que j'aurais dû faire -3-3, donc -6. Mais je m'en suis rendu compte trop tard et ai posté sans vérifier... heureusement que l'on peut éditer !

Encore merci !

par **Zebulon** » 28 Oct 2006, 11:27

Yumeno a écrit:Pour le 0, j'avais calculé trop vite et avais fait -3+3 alors que j'aurais dû faire -3-3, donc -6

OK.

Eh bien, merci beaucoup pour votre aide. La question suivante me demande de calculer la distance BE, je vais m'y atteler mais il se pourrait bien que j'aie à nouveau besoin d'aide !Encore merci !

A votre service ! :we:

par **Yumeno** » 28 Oct 2006, 12:07

J'emploie le même sujet même si la question n'a plus rien à voir.

J'ai vraiment du mal à démarrer... j'ai cherché à utiliser la relation de Chasles pour après déboucher sur les normes, j'ai tenté d'employer le fait que E est le barycentre de (B, 2) et (Z, -6), mais rien n'y fait, je reste bloqué...

Pourtant, d'après la prof, il s'agit d'exercices faciles... je me fais du souci pour la suite !

par **Zebulon** » 28 Oct 2006, 13:09

Yumeno a écrit:J'ai vraiment du mal à démarrer... j'ai cherché à utiliser la relation de Chasles pour après déboucher sur les normes, j'ai tenté d'employer le fait que E est le barycentre de (B, 2) et (Z, -6), mais rien n'y fait, je reste bloqué...

Traduisez "E est le barycentre de {(B,2),(Z,-6)}" en une égalité de vecteurs.

Pourtant, d'après la prof, il s'agit d'exercices faciles... je me fais du souci pour la suite !

Il ne faut pas. Avec de l'entraînemement, les réflexes viendront. Moi, je vous encourage parce que vous avez l'air motivé(e).
Si vous avez des difficultés, n'hésitez pas à demander de l'aide sur le forum. Je pense que tous ceux qui peuvent vous répondre seront ravis de le faire car les membres comme vous (lycéens) se font de plus en plus rares...

par **Yumeno** » 28 Oct 2006, 15:33

Effectivement, même si je ne trouve pas toujours ça facile, je suis très motivé par ce que je fais, et en particulier par les Maths.

J'ai donc traduit ce barycentre par l'égalité suivante (sans les flèches) :
BE = (6/4) BI = (3/2) BI.

Il me semble que les droites remarquables d'un triangle équilatéral ont même mesure que les côtés du triangle (3 cm), à confirmer... Ainsi, BE vaudrait 4,5 cm, toujours à confirmer puisque je ne suis plus très sûr de ce que je viens d'avancer.

En tout cas, merci pour votre aide très précieuse.

par **Zebulon** » 28 Oct 2006, 15:41

I? Qui c'est? C'est Z? Si c'est ça, c'est bon.
Les droites n'ont pas de longueur, et la hauteur n'a certainement pas la même longueur que le côté! C'est Pythagore :

.

par **Yumeno** » 28 Oct 2006, 16:38

Oui, pardon, I est Z, je sais pas pourquoi j'ai switché sur I.

Je me suis mal exprimé, ce que je voulais dire c'est que dans le triangle équilatéral, le segment [BZ] qui fait partie de la médiane, mais aussi de la bissectrice et de la hauteur, fait 3 cm, ce qui s'avère faux en effet... Je ne sais pas d'où j'ai sorti cette notion !

Sur mon tracé, le triangle BCZ est rectangle en Z, donc
BC² = BZ² + CZ²
3² = BZ² + 1,5²
9 = BZ² + 2,25
BZ² = 6,75
BZ = racine carrée de 6,75

or vecteur BE = (3/2) vecteur BZ
donc || vecteur BE || = (3/2) || vecteur BZ ||
donc BE = (3 x racine carrée de 6,75) / 2
ainsi BE est sensiblement égale à 3,9 cm.

Est-ce mieux ??

par **Zebulon** » 28 Oct 2006, 16:59

Yumeno a écrit:ainsi BE est sensiblement égale à 3,9 cm.

Est-ce mieux ??

Oui, c'est bon. Par contre, le "sensiblement égal", il vaut mieux éviter. Donnez plutôt la valeur exacte.

par **Yumeno** » 28 Oct 2006, 17:09

Merci pour le conseil, jusqu'à présent je mettais toujours les valeurs approchées mais je ferai attention à ne plus le faire.

Voilà, j'ai finalement achevé cet exercice de mathématiques grâce à vos conseils qui m'ont été très utiles ! Je suis quasiment certain que ce forum me reverra très bientôt... enfin, au moins après la rentrée !

Encore merci...

par **Zebulon** » 28 Oct 2006, 17:23

Yumeno a écrit:Merci pour le conseil, jusqu'à présent je mettais toujours les valeurs approchées mais je ferai attention à ne plus le faire.

Vous pouvez toujours le faire, mais il faut mettre la valeur exacte. La valeur approchée ne sert qu'à avoir une idée du résultat, et permet ainsi de vérifier si on trouve une valeur absurde.

Voilà, j'ai finalement achevé cet exercice de mathématiques grâce à vos conseils qui m'ont été très utiles ! Je suis quasiment certain que ce forum me reverra très bientôt... enfin, au moins après la rentrée !

Encore merci...

De rien ! A bientôt ! :we:

[1ère S] Barycentre de 3 points sur médiatrice ?

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