Baccalauréat C 1978 Académie d'Aix-Marseille

[PythagoreSauvage]

Salut à tous, en ce moment je m'amuse à regarder d'anciens sujets du bac de maths (section scientifique) pour voir si on ne pourrait pas adapter certains exos à des classes de lycée d'aujourd'hui.

Je suis tombé sur les sujets de maths du bac C 1978 et oh mon dieu ils m'ont semblé relativement ardus (c'est d'ailleurs une remarque qui revient souvent, en 1978 le ou les créateurs des sujets semblaient avoir pété un boulon) alors même que les sujets des années immédiatement précédentes ou suivantes me semblaient eux un peu plus abordables.

Bref je m'attaquais à l'exo 1 du sujet 1978 de l'académie d'Aix-Marseille.



C'est de la géométrie mais la question 1 me donne déjà du fil à retordre. On "voit" très bien ce qu'il se passe, mais pour le démontrer c'est une autre paire de manches (je ne connais pas bien les thèmes qu'avaient abordés et les outils qu'avaient à leur disposition les élèves de terminale C de l'époque).
J'ai proposé la chose suivante :

On remarque que les droites (D) et ne sont rien d'autres que les représentations de fonctions linéaires d'équations respectives et avec .

1er cas)
Si le point M se trouve sur la droite [resp. ], il suffit de prendre [resp. ] à l'origine et sur [resp. sur ] de sorte que . Cette configuration est unique. Voici une illustration, lorsque le point M est sur



2e cas)
Soit le point M de coordonnées ne se trouvant sur aucune des droites. Considérons alors le point de coordonnées . On veut que la droite coupe la droite en un point de coordonnées tel que .



Or, la droite a pour équation

étant données, on souhaite donc avoir , c'est à dire vérifiant .

La contrainte se traduit elle par l'équation .

En outre, on se rappelle que et par conséquent on a aussi et . En substituant dans les deux équations précédentes, il vient qu'étant donné , il existe un unique bipoint avec et dont soit le milieu si et seulement si le système suivant admet une unique solution :



Et là j'avais envie de dire : c'est un système de deux équations à deux inconnues, il existe une solution et cette solution est unique ? Est-ce suffisant. Je ne vois pas trop comment m'en tirer

Merci pour votre aide

[catamat]

Bonjour

Personnellement j'utiliserais une symétrie centrale de centre M, notée s.

On doit avoir P=s(Q)

Comme Q est sur (D) son image par s est sur l'image de (D) par s que l'on notera (D'),
(D') est parallèle à (D) donc (D')coupe en un unique point qui est sur et qui l'image d'un unique point de (D) c'est le point P et son antécédent par s est le point Q.

[PythagoreSauvage]

Ah bah oui je suis bête avec la symétrie centrale ça devenait évident... Merci beaucoup