Dm assez compliqué ...

par **lolotte25** » 22 Déc 2007, 11:38

bonjour a tous !
Pour cette période de fêtes mon prof de maths a eu la bonne idée de nous donner un dm... assez corcé...
Si vous avez un peu de temps à me consacrer je vous en serais très reconnaissante!

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On considere la suite (Un) définie par U0 = 1 et (Un+1) = (Un) + 2n + 3 pour tout entier naturel n .

1. Etudier la monotonie de (Un).
2. Démontrez que pour tout entier naturel n , on a (Un)> n². En déduire la limite de la suite (Un).
3. On veut exprimer (Un) explicitement en fonction de n. Deux méthodes (a) et (b) sont envisagées.
(a) : Calculez les quatre premiers termes de la suite, puis conjecturez une expression de (Un) en fonction de n.
Prouvez ensuite cette conjecture par récurrence.
(b) : Soit la somme Sn= n
Z (Uk-Uk-1)
k=1

4. Calculez Sn en fonction de n en remarquant que la suite (Wk) définie par Wk = Uk - Uk-1 (k>1) (sup. ou égal) est une suite arithmétique (donner raison et premier terme).
5. En remarquant que Sn se réduit simplement en fonction de (Un) et de (Uo),déduire l'expression de (Un) en fonction de n.
6. Utiliser e qui précede pour chercher une formule explicite de la suite (Vn) définie par (Vo)= 2 et (Vn+1) = (Vn)+4n +5 pour tout entier naturel n.

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J'espère que vous pourrez m'aider en attendant votre aide je vous souhaites de très joyeuses fêtes!

par **Monsieur23** » 22 Déc 2007, 11:50

Qu'as-tu fais pour l'instant ?

par **lolotte25** » 22 Déc 2007, 11:55

Pour l'instant je bloque sur les premieres questions ...
j'ai calculé les quatre premiers termes de la suite

par **Monsieur23** » 22 Déc 2007, 11:59

Si tu calcules U(n+1) - U(n), c'est positif ou négatif ? ( sachant que n est positif )

par **lolotte25** » 22 Déc 2007, 12:06

(Un+1) - (Un) = Un +2n+3 -Un
= 2n+3
avk n>0 c'est donc positif.

par **Monsieur23** » 22 Déc 2007, 12:10

Voilà,

Donc, pour tout n, U(n+1) > U(n)

Donc la suite est croissante strictement.

Ensuite, as-tu essayé une récurrence pour montrer que Un > n² ?

par **lolotte25** » 22 Déc 2007, 12:16

la récurrence c'est pas mon fort ...

par **Monsieur23** » 22 Déc 2007, 12:26

Justement ... autant que tu la fasses pour apprendre !

U0 > 0² c'est bon.

Ensuite, supposons U(n) > n²
Montrons que U(n+1) > (n+1)² = n² + 2n + 1

U(n+1) = U(n) + 2n + 3 > n² + 2n + 3

Je te laisse terminer.

par **lolotte25** » 22 Déc 2007, 12:41

merci moi j'ai trouvé Un+2n+3 > n²+2n+3
Un+1 > (n+1)²+2 > (n+1)²
hypotèse vérifiée donc Un > n²

et U1 = 4+2n
U2 = 7+4n
U3 = 10+6n
U4 = 13+8n

par **Monsieur23** » 22 Déc 2007, 13:03

C'est bon pour la récurrence.

Par contre, tu t'es trompée pour calculer les termes de la suite.

Il faut que tu "remplaces" le n par le rang du terme.

U0 = 1
U1 = U0 + 2*1 + 3 = 6
U2 = U1 + 2*2 + 3 = 13
Etc.

par **lolotte25** » 22 Déc 2007, 13:12

oups !
oui vraiment l'erreur vraiment impardonnable !
U3 = 13+2*3+3
= 22
U4 = 33

merci pour cette réctification

conjecturer une expression de Un en fonction de n ...

par **lolotte25** » 22 Déc 2007, 13:19

suite arithmétique
Un = Uo + nr
Un =1 +nr
par récurrence...

par **Monsieur23** » 22 Déc 2007, 17:17

Je suis désolé, mais j'avais mal lu l'énoncé, et je me suis trompé dans le calcul des termes ...

U0 = 1
U1 = 1 + 2*0 + 3 = 4
U2 = 4 + 2*1 + 3 = 9
U3 = 9 + 2*2 + 3 = 16

Maintenant, tu dois mieux y voir pour la conjecture.

Encore désolé.

Dm assez compliqué ...

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