Arithmétique - TS Spé

[chombier]

Voici mon problème :

[INDENT]Exercice : Soit a un entier naturel supérieur ou égal à 2 et p un nombre premier qui ne divise pas a

Montrer que le nombre de diviseurs positifs du produit est le double du nombre de diviseurs de a.
[/INDENT]

Intuitivement, je vois bien que si b est un diviseur de ap, soit b est un diviseur de a, soit b est le produit de p et d'un diviseur de a.

Je pense qu'il faut passer par la décomposition en facteurs premiers de a. Comme souvent dans ce genre d'exercice "facile" (où l'on a l'impression de voir la solution), j'ai surtout un problème de rédaction. J'ai un brouillon de preuve mais je ne suis pas du tout satisfait de mon travail :

Preuve : J'appelle Div(k) l'ensemble des diviseurs positifs de k.

Soit la décomposition en facteurs premiers de a.

p est différent de tous les p_i sinon p divise a.

Soit b un diviseur de ap

Si p ne divise pas b, p n'apparait pas dans la décomposition de b, et p divise a.

Si p divise b, b/p est un diviseur de a. B s'écrit p*b' et b' divise a.

Donc

Or


Donc . Fin de la preuve.



Je sens bien que chacune de mes affirmations est exacte, mais j'ai l'impression que tout cela manque profondément de rigueur et de justifications. J'ai malheureusement souvent aussi cette impression lorsque je lis des corrigés d'exercices en arithmétique, où on trouve souvent de longues phrases en français (je n'ai rien contre) et j'ai un peu l'impression d'avoir été endormi et volé.

Des conseils ? Je prends !! Merci d'avance en tous cas

[nodjim]

A chacun des diviseurs di de a, tu as le choix de l'accompagner ou pas du nombre premier p (di ou di*p). Tu as bien donc 2 fois plus de diviseurs de a*p que de a.

[chombier]

A chacun des diviseurs di de a, tu as le choix de l'accompagner ou pas du nombre premier p (di ou di*p). Tu as bien donc 2 fois plus de diviseurs de a*p que de a.

Je suis désolé car bien que je comprenne parfaitement ce que tu dis et que je sois totalement d'accord, c'est typiquement le genre de rédaction qui me frustre beaucoup. Par exemple, que signifie "accompagner un diviseur avec un nombre premier ?"

Tu veux sans doute dire que tout diviseur b de a*p peut d'écrire sous la forme : b=di ou b=di*p ; avec di diviseur de a. (Je suis d'accord mais ça mérite une démonstration).

Ensuite tu pars du principe que l'ensemble des di et l'ensemble des p*di sont disjoints et ont même cardinal. Là aussi pour moi, ça reste à prouver.

Je me sens dans la situation d'un élève de 5ème devant ses premières démonstrations de géométrie. Qu'est-ce qui est évident et qu'est-ce qui ne l'est pas ? Jusqu'où doit-on remonter les preuves ? L'arithmétique étant souvent trompeuse, dans quelle mesure ne risque-t-pas d'accepter comme évident un résultat faux ?

[nodjim]

La décomposition d'un nombre en facteurs premiers se visualise en autant de colonnes que de nombres premiers, à chacune de ces colonnes on affecte la puissance représentée par le facteur premier correspondant. Un diviseur est un extrait qu'on pioche dans ces colonnes, c'est la raison pour laquelle le nombre de diviseurs est (p1+1)(p2+1(p3+1)....où les pi représentent les puissances (le +1 c'est pour quand on ne pioche pas dans la colonne)
Comme on dit dans l'énoncé que p ne divise pas a, il ne se trouve pas dans les colonnes existantes, pour faire ap, on est bien obligé d'ajouter cette colonne p.
Dans ce cas on double bien le nombre des diviseurs. On peut l'exprimer autrement bien entendu.

[zygomatique]

Voici mon problème :

[INDENT]Exercice : Soit a un entier naturel supérieur ou égal à 2 et p un nombre premier qui ne divise pas a

Montrer que le nombre de diviseurs positifs du produit est le double du nombre de diviseurs de a.
[/INDENT]

Intuitivement, je vois bien que si b est un diviseur de ap, soit b est un diviseur de a, soit b est le produit de p et d'un diviseur de a.

Je pense qu'il faut passer par la décomposition en facteurs premiers de a. Comme souvent dans ce genre d'exercice "facile" (où l'on a l'impression de voir la solution), j'ai surtout un problème de rédaction. J'ai un brouillon de preuve mais je ne suis pas du tout satisfait de mon travail :

Preuve : J'appelle Div(k) l'ensemble des diviseurs positifs de k.

Soit la décomposition en facteurs premiers de a.

p est différent de tous les p_i sinon p divise a.

Soit b un diviseur de ap

Si p ne divise pas b, p n'apparait pas dans la décomposition de b, et p divise a.

Si p divise b, b/p est un diviseur de a. B s'écrit p*b' et b' divise a.

Donc

Or


Donc . Fin de la preuve.



Je sens bien que chacune de mes affirmations est exacte, mais j'ai l'impression que tout cela manque profondément de rigueur et de justifications. J'ai malheureusement souvent aussi cette impression lorsque je lis des corrigés d'exercices en arithmétique, où on trouve souvent de longues phrases en français (je n'ai rien contre) et j'ai un peu l'impression d'avoir été endormi et volé.

Des conseils ? Je prends !! Merci d'avance en tous cas

salut

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ?

soit n = ap avec p nombre premier premier avec a

pour tout diviseur d de a d et dp divisent n

donc le nombre de diviseurs de n est le double du nombre de diviseurs de a


:ptdr:

[Ben314]

Salut,
Si tu veut rédiger ça "sans phrase en français" (c qui n'est pas forcément le plus malin), il te faut donner des noms à un peu tout ce que tu manipule.

A mon avis, il faut donc commencer par dire : Soient tout les diviseurs (distincts) de .
Ensuite, ce que tu veut montrer, c'est que les diviseurs (distincts) de sont exactement les entiers .
Donc il faut montrer que ces entiers sont
1) Tous distincts.
2) Tous des diviseurs de
3) Que cette liste est "exhaustive" (i.e. que tout les diviseurs de sont dedans).

Pour le 1), comme les sont distincts les sont aussi distincts et il faut uniquement montrer que, quelque soit i,j, on a .
Or, si on avait alors serait un diviseur de donc serait un diviseur de ce qui est contraire a l'hypothèse.

Le 2) est évident vu la définition des

Pour le 3), soit un diviseur de ,
- Si divise alors et, comme divise , c'est que divise donc pour un certain et on a .
- Si ne divise pas alors et sont premiers entre eux (car est premier), et, comme divise , il divise (lemme de Gauss) donc pour un certain .

[Ben314]

soit n = ap avec p nombre premier premier avec a
pour tout diviseur d de a d et dp divisent n
donc le nombre de diviseurs de n est le double du nombre de diviseurs de a

La gros problème de cette rédaction, c'est qu'on ne voit pas trop où interviennent les hypothèses (essentielle vu que sinon le résultat est faux) qui disent que "p est premier" et que "p ne divise pas a".
Dit autrement, il te manque les parties 1) et 3) du post çi dessus.

[chombier]

salut

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ?

soit n = ap avec p nombre premier premier avec a

pour tout diviseur d de a d et dp divisent n

donc le nombre de diviseurs de n est le double du nombre de diviseurs de a


:ptdr:

C'est une blague ? Ou utilise-tu la primalité de p ? Comment compte-tu les diviseurs ?

Si d|a, d|ap et dp|ap (c'est ce que tu as écrit), comment arrive-tu à ta conclusion ?

Il faudrait peut-être démontrer aussi que TOUT diviseur de ap est de la forme d ou dp (double inclusion) avant de comptabiliser.

[chombier]

Salut,
Si tu veut rédiger ça "sans phrase en français" (c qui n'est pas forcément le plus malin), il te faut donner des noms à un peu tout ce que tu manipule.

A mon avis, il faut donc commencer par dire : Soient tout les diviseurs (distincts) de .
Ensuite, ce que tu veut montrer, c'est que les diviseurs (distincts) de sont exactement les entiers .
Donc il faut montrer que ces entiers sont
1) Tous distincts.
2) Tous des diviseurs de
3) Que cette liste est "exhaustive" (i.e. que tout les diviseurs de sont dedans).

Pour le 1), comme les sont distincts les sont aussi distincts et il faut uniquement montrer que, quelque soit i,j, on a .
Or, si on avait alors serait un diviseur de donc serait un diviseur de ce qui est contraire a l'hypothèse.

Le 2) est évident vu la définition des

Pour le 3), soit un diviseur de ,
- Si divise alors et, comme divise , c'est que divise donc pour un certain et on a .
- Si ne divise pas alors et sont premiers entre eux (car est premier), et, comme divise , il divise (lemme de Gauss) donc pour un certain .

Merci Ben. Ce n'est donc pas si simple. J'ai parfois, quand je détaille autant, l'impression de sortir un marteau pour écraser une mouche.

Quand au français, je n'ai rien contre mais c'est tellement plus dur de faire de belles démonstrations en français que j'essaie parfois de contourner la difficulté.

Ca permet aussi parfois de cacher des lacunes dans son raisonnement (volontairement ou non, comme ci dessus, et j'ai peur de tomber dans ce piège). De plus une rédaction un peu bancale, meme avec un raisonnement correct, est très difficile à lire.

Et sinon, on demande vraiment des raisonnement aussi élaborés en lycée ? Il y a un tel décalage entre le programme spécifique et le programme spécial ?

C'est comme si, en lycée, il n'y a qu'en spé-maths qu'on faisait des "vrais" maths (où aucune propriété n'est admise, et où il faut faire des preuves d'egalite d'ensemble par double inclusion, des raisonnement par analyse synthèse, etc)

[beagle]

Le problème est de savoir ce qui est permis = ce que l'on sait ou pas.

ce qu' a mis Ben314 est très rigoureux et bien détaillé.
Mais on comprend la gène de nodjim, de zygomatique,
car

quand cherche-t-on le nombre de diviseurs de n?,
ben souvent quand mème c'est pour partir de la décomposition en facteurs premiers.
et on compte les combis de ces facteurs.
si on part de cela dans cet exo,
p est premier il ne divise pas a, donc p se retrouve dans la décomposition en facteurs premiers.
et quelles combi peut-on faire,
celles existantes précédemment, plus toutes celles où on va mettre p,
or on peut mettre du p dans toutes les premières,
donc le double.

donc s'agit quand mème de savoir de quoi on part.

[zygomatique]

La gros problème de cette rédaction, c'est qu'on ne voit pas trop où interviennent les hypothèses (essentielle vu que sinon le résultat est faux) qui disent que "p est premier" et que "p ne divise pas a".
Dit autrement, il te manque les parties 1) et 3) du post çi dessus.

peut-être à la rigueur ajouter ::

si a et p sont premiers entre eux (et p premier) alors tout diviseur d de a n'est pas p !!! (ce qui est une évidence par définition de "a et p sont premiers entre eux")


de plus si p est premier (donc différent de 1) alors il semble évident que

donc

pour tout diviseur d de a d et dp divisent n

donne bien l'ensemble des diviseurs de n

...

:lol3:

[Ben314]

ben souvent quand mème c'est pour partir de la décomposition en facteurs premiers.

Je pense que beagle pointe très précisément là le "pourquoi" ce que je propose n'est sans doute pas adapté à une rédaction "niveau terminale" :
- Du point de vue "terminale", je pense que le théorème dit "fondamental de l'arithmétique" est vu comme quelque chose "d'assez simple" par rapport par exemple au "lemme de Gauss" que j'utilise dans le post au dessus où a d'autre résultat du même type comme le théorème de Bézout. Donc dans une démonstration, on risque de préférer une preuve utilisant la décomposition en facteur premier des nombres entiers.

- Du point de vue "post bac", c'est plutôt l'inverse : on sait que, pour démontrer ce fameux "théorème fondamental de l'arithmétique", il faut au préalable avoir démontré Bézout, puis Gauss, donc une preuve n'utilisant "que" le théorème de Gauss et pas le "théorème fondamental" est considérée comme "plus élémentaire" et elle a plus de chance de continuer a fonctionner sans grosse modifications sur des ensembles autres que les entiers usuels.

Par exemple, ici, tu peut vérifier qu'en utilisant le "théorème fondamental" et la caractérisation des diviseurs qui en découle, on peut torcher le truc en une ligne :
Si (décomposition en nombre premiers) alors le nombre de diviseurs de est .
Ensuite, vu que est premier et qu'il ne divise pas , c'est que la décomposition en nombre premier de est et donc le nombre de diviseurs de est .

[zygomatique]

qu'appelles-tu le théorème "dit fondamental" de l'arithmétique ?

est-ce :: p divise ab et p ne divise pas a ==> p divise b ?

EDIT : ha non c'est le lemme de Gauss ...

alors est-ce le lemme d'Euclide ? :: p premier divise ab ==> p divise a ou p divise b

[Ben314]

C'est le fait que tout entier se décompose de façon unique (à l'ordre des facteurs prés) en un produit de nombres premiers.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27arithm%C3%A9tique

[chombier]

Je pense que beagle pointe très précisément là le "pourquoi" ce que je propose n'est sans doute pas adapté à une rédaction "niveau terminale" :
- Du point de vue "terminale", je pense que le théorème dit "fondamental de l'arithmétique" est vu comme quelque chose "d'assez simple" par rapport par exemple au "lemme de Gauss" que j'utilise dans le post au dessus où a d'autre résultat du même type comme le théorème de Bézout. Donc dans une démonstration, on risque de préférer une preuve utilisant la décomposition en facteur premier des nombres entiers.

- Du point de vue "post bac", c'est plutôt l'inverse : on sait que, pour démontrer ce fameux "théorème fondamental de l'arithmétique", il faut au préalable avoir démontré Bézout, puis Gauss, donc une preuve n'utilisant "que" le théorème de Gauss et pas le "théorème fondamental" est considérée comme "plus élémentaire" et elle a plus de chance de continuer a fonctionner sans grosse modifications sur des ensembles autres que les entiers usuels.

Par exemple, ici, tu peut vérifier qu'en utilisant le "théorème fondamental" et la caractérisation des diviseurs qui en découle, on peut torcher le truc en une ligne :
Si (décomposition en nombre premiers) alors le nombre de diviseurs de est .
Ensuite, vu que est premier et qu'il ne divise pas , c'est que la décomposition en nombre premier de est et donc le nombre de diviseurs de est .

Entièrement d'accord, je trouve aussi, bien que j'ai un niveau post-bac, que le théorème fondamental est beaucoup plus facile à visualiser que le lemme de Gauss, et je trouve cette preuve bien plus "convaincante" (facile à mémoriser, à comprendre, à assimiler) que la première où je dois beaucoup me concentrer pour comprendre la 3ème partie, par exemple.

Il faut dire que l'arithmétique est une branche des mathématiques particulièrement ardue, je trouve. C'est pour les élèves de TS-spé une des premières fois qu'il est quasiment toujours impossible de raisonner par équivalences. La disjonction des cas et l'analyse synthèse — une nouveauté — sont légions, et il n'est plus questions d'exercices types, à part les équations diophantiennes qui malgré leurs noms barbares se traitent toujours de la même façon et sont présentes dans tous les sujets afin que les élèves scolaires grapillent leurs quelques points de façon certaine.

Enfin, quand je parle d'analyse synthèse, cela se résume le plus souvent à "réciproquement, les solutions trouvées vérifient les hypothèses", phrase qui doit laisser beaucoup d'élèves très perplexes.

Pour info, en TS-spé, le lemme de Gauss et le théorème de Bezout sont appris, démontrés, et couramment utilisés. C'est même étonnant qu'on ait casé ça en TS-spé vu le fossé avec le reste du programme en terme de niveau d'abstraction. Pourquoi ne pas avoir ajouté une définition rigoureuse des limites, des espaces vectoriels ou même des développements limités. Tout cela est bien plus accessible que l'arithmétique.

[Ben314]

...les équations diophantiennes qui malgré leurs noms barbares...

Juste une remarque (que je ne pouvais évidement pas m'empêcher de faire...) Diophante d'Alexandrie (donc un grec) n'était pas un barbare vu que le mot barbare provient du grec ancien ;););););););) qui signifiait "étranger", c'est a dire à l'époque "non grec".
Il est aussi amusant de noter l'étymologie du mot "barbare" qui semble provenir du fait que (c.f. Wiki.) ...toute personne dont le langage ressemblait, pour les Grecs, à un charabia style "bar-bar"

Pour info, en TS-spé, le lemme de Gauss et le théorème de Bezout sont appris, démontrés, et couramment utilisés. C'est même étonnant qu'on ait casé ça en TS-spé vu le fossé avec le reste du programme en terme de niveau d'abstraction. Pourquoi ne pas avoir ajouté une définition rigoureuse des limites, des espaces vectoriels ou même des développements limités. Tout cela est bien plus accessible que l'arithmétique.

ça, je sais pas : ça fait très longtemps que je cherche plus la logique dans les programmes scolaires...

[zygomatique]

resalut et bonne année .....

c'est très simple : le programme de math-spé permet l'utilisation (à outrance ....) de la calculatrice ... ce que ne permettrait surement pas l'étude des limites, espaces vectoriels et autre développements limités ...

et ce n'est pas forcément plus accessible que l'arithmétique .....sauf quand on ne sait pas calculer ...

la grande force de cette partie du programme de spé c'est de ne reposer sur rien d'autre que les entiers et les opérations de base ... auquel on ajoute la division euclidienne ...

et toute ces contraintes sont très riches de développement et de réflexion ... quand on sait calculer et qu'on a appris à penser ....ce qui n'est plus l'objectif de l'école ...


pour revenir à

La gros problème de cette rédaction, c'est qu'on ne voit pas trop où interviennent les hypothèses (essentielle vu que sinon le résultat est faux) qui disent que "p est premier" et que "p ne divise pas a".
Dit autrement, il te manque les parties 1) et 3) du post çi dessus.

finalement je ne suis pas si d'accord avec ça :

tout d'abord mon objectif n'était pas de donner une réponse toute faite ...

ensuite

soit n = ap avec p nombre premier premier avec a

pour tout diviseur d de a d et dp divisent n

donc le nombre de diviseurs de n est le double du nombre de diviseurs de a

toutes les hypothèses sont présentes :

a/ p est premier (en gras)
b/ p ne divise pas a (en souligné)

car a/ et b/ a/ et p et a sont premiers entre eux


mais comme je l'ai dit en premier mon objectif n'est pas de donner une réponse toute faite mais un squelette, un canevas de la démonstration pour impliquer le lecteur et l'engager à faire une démonstration complète ....

mais il ne manquait pas grand chose .... à une erreur près tout de même !!!

il fallait écrire pour tout diviseur d de a premier avec p d et dp divisent ap (car les diviseurs de p sont 1 et p et que p n'est pas 1)

qui est la seule chose qu'il faut rajouter c'est que p n'a que deux diviseurs ....



on peut faire une preuve en explicitant tous les diviseurs et en justifiant tes trois points ... comme tu l'as fait .... mais je ne pense pas qu'il soit nécessaire de numéroter tous les diviseurs ...

:lol3: