Arithmétique - récurrence

[Mouraddddd]

Bonjour,

je demande votre aide pour cet exercice:

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Soit un entier naturel non nul n .
1.Montrer par récurrence sur n que
(2n)! = 1*2*3*...*(2n-1)*(2n) est divisible par 2^n .
2.En déduire que pour tout entier non nul n :
(n+1)*(n+2)*...*(2n) est divisible par 2^n
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Voila ce que j'ai fait :

question 1.Vérifions que la proposition est vraie pour n =1
(2)! = 2 est divisible par 2^1 .
supposons qu'elle reste vraie jusqu'à un ordre fixé de n donc (2n)!= k*(2^n).
montrons qu'elle est vraie pour n+1 .
(2n+2)!= 1*2*3*..(2n)*(2n+1)*(2n+2)=(2n)!*(2n+1)*(2n+2)=k*(2^n)*(2n+1)*(2n+2) soit(2n+2)!= k' * 2^n d'où la proposition est vraie pour n+1 .
conclusion (2n)! = 1*2*3*...*(2n-1)*(2n) est divisible par 2^n pour tout n sup ou égal à 1 .

question 2.Pour cette question je n'ai pas pu faire une déduction de la question précédente , mais je l'ai résolue avec le raisonnement par récurrence comme suit:
Vérifions que la proposition est vraie pour n =1 :
2 est divisible par 2^1 .
supposons qu'elle reste vraie jusqu'à un ordre fixé de n
donc(n+1)*(n+2)*...*(2n)= k*(2^n).
montrons qu'elle est vraie pour n+1 .
(n+2)*(n+3)*...(2n)*(2n+1)*(2n+2) = (n+2)*(n+3)*...(2n)*(2n+1)*(2(n+1))
=(n+1)*(n+2)*(n+3)*...(2n)*(2n+1)*2 = k*(2^n)*(2n+1)*2 = k' * (2^n)
conclusion (n+1)*(n+2)*...*(2n) est divisible par 2^n pour tout n sup ou égal à 1 .

le raisonnement est juste mais il ne s'agit pas de déduction de la 1ère question. Y-a-t-il une autre solution utilisant le résultat de la 1ère question.

MERCI POUR VOTRE COLLABORATION

[Ericovitchi]

oui ça provient que (2n) ! = n! k (avec k = 1 x 3 x ... x (2n-1)
(il suffit de regrouper les termes paires et de mettre en facteur leur facteur 2)
et comme (2n)! = 2n(2n-1)...(n+1) n !
ca donne 2n(2n-1)...(n+1) = k et donc il est divisible par

[Mouraddddd]

Merci Et Bonne Nuit