Pb approximation sinus petits angles

[Anonyme]

Bonjour, dans un pb de physique je doit considérer que pour des petit angles
la fonction sinus tend vers la valeur de l'angle. La question est : pour
quelles valeurs de l'angle peut on assilmiler sinus(A) à A à 5% ? Autrement
dit résoudre sinus(A)/A>0,95 ?

[Anonyme]

Jul Dur :
> Bonjour, dans un pb de physique je doit considérer que pour des petit angles
> la fonction sinus tend vers la valeur de l'angle. La question est : pour
> quelles valeurs de l'angle peut on assilmiler sinus(A) à A à 5% ? Autrement
> dit résoudre sinus(A)/A>0,95 ?
>
>

-0.551910 <A< 0.551910 convient (en radians, soit a peu pres 31 degres)

--
Saïd.

[Anonyme]

Merci, ma calculatrice me donne ça aussi.
En fait c'est surtout la méthode qui permet de trouver ces valeurs qui
m'intéresse : comment on résoud sinus(x)/x=0,95 ??

"Saïd" a écrit dans le message de
news:slrncoc3vl.j2n.said@brian.lan...
> Jul Dur :[color=green]
> > Bonjour, dans un pb de physique je doit considérer que pour des petit[/color]
angles[color=green]
> > la fonction sinus tend vers la valeur de l'angle. La question est : pour
> > quelles valeurs de l'angle peut on assilmiler sinus(A) à A à 5% ?[/color]
Autrement[color=green]
> > dit résoudre sinus(A)/A>0,95 ?
> >
> >
>
> -0.551910
> --
> Saïd.[/color]

[Anonyme]

Jul Dur wrote:
> Merci, ma calculatrice me donne ça aussi.
> En fait c'est surtout la méthode qui permet de trouver ces valeurs qui
> m'intéresse : comment on résoud sinus(x)/x=0,95 ??
>

Numeriquement.
On se ramene a une equation de la forme f(x) = 0.
Il y a pleins de methodes differentes.
Par exemple la methode de newton. Admettons que tu
partes d'un point x_0 (si possible pas eloigne de
ta solution). Tu determines la tangeante a la courbe
de f en x_0. Si tout va bien, elle coupe l'axe des
absisse (zut, je ne sais plus ecrire absice) en un point
x_1 (que tu peux calculer en fonction de x_0).
Si tu reiteres le processus, tu peux definir une suite (x_n).
On montre que (moyennent qq hypotheses sur f), cette suite
converge vers une limite l qui verifie f(l) = 0.

[Anonyme]

> Numeriquement.
> On se ramene a une equation de la forme f(x) = 0.
> Il y a pleins de methodes differentes.
> Par exemple la methode de newton. Admettons que tu
> partes d'un point x_0 (si possible pas eloigne de
> ta solution). Tu determines la tangeante a la courbe
> de f en x_0. Si tout va bien, elle coupe l'axe des
> absisse (zut, je ne sais plus ecrire absice) en un point
> x_1 (que tu peux calculer en fonction de x_0).
> Si tu reiteres le processus, tu peux definir une suite (x_n).
> On montre que (moyennent qq hypotheses sur f), cette suite
> converge vers une limite l qui verifie f(l) = 0.

On peut également utiliser les développements limités pour se ramener à une
équation polynomiale :

Je m'explique. Si tu n'as pas vu les développements limité, sache que pour x
proche de 0, on peut faire l'approximation

sin x = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! -(x^7)/7! + .... + ((-1)^n*x^(2n+1)) /
(2n+1)! ( k! = factorielle(k) = 1*2*3*....*k )

n est appelé l'ordre du développement limité, et plus n est grand plus
l'approximation est proche de la réalité.

(Remarque que pour n=0 tu as l'approximation sin x = x.)

On peut donc approximer sin x par x-x^3/3! = x-x^3/6

sin x/x = 0.95 1-(x^2)/6 = 0.95 => x^2/6 = 0.05 et x = sqrt (0.30) =
0.5477...,
ce qui malgré les approximations qui ont été faites n'est pas si loin du
résultat 0.551910 obtenu précédemment.

Si on veut être vraiment pointilleux, on n'a qu'à étendre un peu le
développement limité, mais là la résolution risque d'être un peu plus
corsée.