Applications

[Hanaconda]

Bonsoir à tous,

J'ai une série d'exercices portant sur le chapitre des applications à résoudre, et je bloque quelques parts.
Voici l'énoncé :

On considère l'application f définie par : f: R\{1} --> R


1) Résoudre dans R\{1} l'équation f(x) = -1. f est-elle injective? fait. f est non injective.
2) Résoudre dans R\{1} l'équation f(x) = 2. f est-elle surjective? fait. f est non surjective.
3) Déterminer f([2, +infini]) je sais bien qu'il faut commencer par x>= 2 et aboutir à l'intervalle où f(x) existe, mais je n'y suis pas arrivée.
4) Montrer que f est une bijection de ]0,1[ vers ]-infini, 0[ et déterminer sa bijection réciproque

Merci de bien vouloir me prêter un coup de main.

[pascal16]

un tableau de variations te donnera une allure de la fonction et les renseignements qui te manquent

[Ben314]

Salut,
Si tu as vu les dérivées, alors effectivement, de faire un tableau de variation est (de loin) le plus rapide.

Sinon, vu la fonction (pas super compliqué) c'est encore jouable de le faire à la main, c'est à dire de prendre un réel y fixé et de regarder quand est-ce qu'il existe (au moins) une solution x à l'équation f(x)=y qui soit dans l'intervalle [2,+oo[.

En plus, cette méthode est plutôt dans la logique de l'exo. vu qu'à la fin, on te demande de déterminer la bijection réciproque d'une restriction de f (ce qui t'obligera de toute manière à résoudre f(x)=y pour un y fixé).

[Hanaconda]

Merci de vos réponses!
Non, je n'ai pas vu les dérivées.
Et concernant l'image de l'application, on n'a vu en cours que la manière de (x appartient à I <=> f(x) appartient à I). Je ne peux pas m'en servir pour cet exercice? car j'arrive pas vraiment à capter ta méthode, Ben.
Merci d'avance.

[Ben314]

....on n'a vu en cours que la manière de (x appartient à I <=> f(x) appartient à I).

Ben si c'est effectivement ça qu'on "vous a donné en cours", alors c'est plus que très mal barré....
Déjà, de donner une définition de ce qui est (du verbe être) l'ensemble f(I) dans laquelle f(I) lui même n'apparait pas, c'est quand même on va dire... bizarre.
Mais bon, jusque là, on peut dire que c'est une "faute de frappe" et que ce que tu voulais écrire, c'est que
(x appartient à I <=> f(x) appartient à f(I))
Sauf que le "petit problème", ben c'est que c'est complètement faux :
Autant il est vrai que, si x est dans I, alors f(x) va être dans f(I), autant la fait que f(x) est dans f(I) ne prouve absolument pas que x est dans I : f(I), ça désigne l'ensemble des valeurs que prend f(x) lorsque x prend toutes les valeurs possible de I.
Donc par exemple, si f(x)=x^2 et que I=[0,+oo[, comme le réel 2 est dans I, ça prouve que 4=f(2) est dans f(I).
Sauf que manque de bol, 4 c'est aussi f(-2) donc on a bien f(-2) qui est dans f(I) alors que -2 n'est pas dans I.

Et sinon, ben la méthode que j'emploie, c'est celle utilisant la définition de f(I) (la bonne, pas celle que tu donne...) :
Un réel est dans f(I) si et seulement si il est l'image d'un certain x de l'intervalle I.
Dit autrement,
Un réel y est dans f(I) si et seulement si il existe (au moins) un x dans I tel que f(x)=y.
(et évidement, rien n'interdit à un tel y d'être AUSSI l'image d'autres x qui eux ne sont pas dans I)

[Hanaconda]

Je vois. Donc, grosso modo, je vais avoir à résoudre l'équation f(x)=y et montrer qu'il existe au moins une solution appartenant à I, et par la suite, montrer que cette solution est unique( pour la question 4), n'est-ce pas?

[Ben314]

Pour la 3), je suis pas certain à 100% que ce soit la méthode attendu (c'est quand même un peu chiant comme calculs et il ne faut pas se perdre...)

Par contre, effectivement, pour la 4), vu la formulation qui te demande non seulement de montrer que f est bijective, mais aussi de déterminer f^-1, tu n'a pas le choix.
Mais attention à bien comprendre l'énoncé : on te demande de montrer que c'est une bijection de ]0,1[ vers ]-infini, 0[ et ça veut dire que tu part d'un réel y qui est dans ]-infini, 0[ (donc pas d'un réel y quelconque) et tu doit montrer qu'il y a une unique solution dans l'intervalle ]0,1[ à l'équation f(x)=y : et il y aura quasi surement plusieurs solutions à cette équation, mais une seule qui soit dans ]0,1[.

Est-ce qu'en cours vous avez tracé les courbes des fonctions que vous étudiez (avec une calculette par exemple) ?
Si oui, ça aide grandement à comprendre le sens des calculs qu'on fait, et surtout, ça aide à prévoir les résultats (par exemple le nombre de solutions qu'il va y avoir à une équation du style f(x)=3 ou f(x)=5 ou plus généralement f(x)=y).
Et la courbe permet aussi de "lire" directement qui est l'ensemble f(I) pour un intervalle I donné.

[Hanaconda]

J'arrive à mieux comprendre. Merci beaucoup!
Bonne fin de soirée!

[pascal16]

J'ai rajouté en rouge la droite y=x+1 (au passage une seconde écriture de f est f(x) = x+1 + 1/(x-1) qui facilite l'étude des limites)

En seconde, ma nièce faisait des lectures d’images d'intervalles par lecture graphique.
On voit graphiquement que quand x parcours [2;+oo[, f(x) parcours [4;+oo[.
On veut donc le démontrer

comme on déjà vu que f(x)=2 n'a pas de solution, on a le droit de rechercher, comme l'a dit Ben les solution de
f(x)=k, pour k>=2 (le 2 ici n'a rien à voir avec le 2 de [2;+oo[)

f(x)=k amène a une équation du second degré qui a des solutions si k>=4 ou k<=0.
seul k>=4 nous intéresse.
de plus, la solution '(-b + Vdelta)/2a' est toujours >=k>=4, on établie alors l’existence et l'unicité de la solution pour f(x)>=4 en prenant la racine la plus grande.

Mieux guidé, d'un exercice assez calculatoir, il pourrait devenir fantastique