Application périodique non bornée

[Nightmare]

Je ne comprends pas trop, dans ce cadre, on ne considère par de fonctions qui prennent des valeurs infinies, on travaille avec des fonctions à valeurs finies et dans R.

[benekire2]

Oué c'est bizarre ta fonction :doh: mais je crois qu'il faut creuser de ce côté là ...

[Nightmare]

Je vous mets sur la piste que j'ai suivie :

Un intervalle ]a;b[ contient une infinité de rationnels, et à M réel fixé, on en a qu'un nombre fini dont le dénominateur - une fois la fraction écrite de manière irréductible - est majoré par M. (Pourquoi?)

[benekire2]

Et bien comme x=p/q pour q majoré par M on a un nombre fini de "q possibles" or c'est assez évident que sur un intervalle on a un nombre fini de rationnels de même dénominateur.

Maintenant je vois a peu près la tête de la fonction que tu veut faire ... ce serait pas celle qui associe 0 a tout irrationnel et qui a un rationnel p/q (irréductible) associe q ? Cela semble marcher ..

[Anonyme]

Et bien comme x=p/q pour q majoré par M on a un nombre fini de "q possibles" or c'est assez évident que sur un intervalle on a un nombre fini de rationnels de même dénominateur.

Maintenant je vois a peu près la tête de la fonction que tu veut faire ... ce serait pas celle qui associe 0 a tout irrationnel et qui a un rationnel p/q (irréductible) associe q ? Cela semble marcher ..

En effet , fallait la chercher loin celle la pas du tout evident.

[Nightmare]

Oui c'est bien cette fonction que j'avais en tête (en associant 0 à n'importe quoi, pour la définir sur R tout entier quand même). Le fait qu'elle ne soit bornée sur aucun intervalle d'intérieur non vide est évident avec ce que j'ai dit plus haut, le fait qu'elle soit périodique est aussi facile à prouver.

:happy3:

[benekire2]

Un exemple a retenir en tout cas :we:

Etape 2 , le graphe de cette bête .. non je déconne :zen:

[Anonyme]

Oui c'est bien cette fonction que j'avais en tête (en associant 0 à n'importe quoi, pour la définir sur R tout entier quand même). Le fait qu'elle ne soit bornée sur aucun intervalle d'intérieur non vide est évident avec ce que j'ai dit plus haut, le fait qu'elle soit périodique est aussi facile à prouver.

:happy3:

Tu montres comment qu'elle est périodique et quelle est sa période ?

Edit: en fin de compte j'ai trouvé 1.

[Nightmare]

Pour avoir une idée d'une période, on peut remarquer que f(T)=f(0) . Disons qu'alors f(0)=1, ça entraîne que T est rationnel et en plus doit être un entier car f(T) renvoie le dénominateur de T.

On teste T=1 : si x est irrationnel, x+1 aussi dont ils ont la même image qui est 0.

Si x est rationnel représenté de façon irréductible par p/q, x+1=(p+q)/q et p et q étant premiers entre eux, il en va de même pour p+q et q donc f(x+1)=q=f(x).

f est 1-périodique de groupe de période

[Anonyme]

Merci c'est bien ce que je pensais.