Algèbre des parties d'un ensemble

[SGQC]

Bonjour! J'ai de la misère avec une question que mon professeur m'a fait part. J'aimerais avoir de l'aide avec ce problème puisque je me suis casser la tète pendant 3 heures d'affiler sans avoir trouver de réponse.

Voici la question: Montrez que (A\B) Δ (B\C) = (A\B) ∪ (B\C)
A, B, C sont des ensembles dont le contenu est inconnu.

Merci de m'aider si possible!

[chan79]

Voici la question: Montrez que (A\B) Δ (B\C) = (A\B) ∪ (B\C)

Bonjour
Compte tenu de la définition de , tu as juste à montrer que A\B et B\C sont disjoints.

[SGQC]

Je ne suis pas sur de suivre, pourrais tu expliquer s'il te plait?

[Ben314]

Salut,

Je ne suis pas sur de suivre, pourrais tu expliquer s'il te plait?

Pour deux parties F et G d'un même ensemble E,
- C'est quoi la définition de la partie ?
- Vu cette définition, dans quel cas est-on sûr d'avoir ?

[SGQC]

Salut,

Je ne suis pas sur de suivre, pourrais tu expliquer s'il te plait?

Pour deux parties F et G d'un même ensemble E,
- C'est quoi la définition de la partie ?
- Vu cette définition, dans quel cas est-on sûr d'avoir ?

Du coup, la définition que j'ai est: << Soient A et B deux ensembles. La différence symétrique, notée A △ B, est l'union des ensembles A \ B et B \ A. Autrement dit: A△B = (A\B) ∪ (B\A) >>

Donc F△G = (F\G)∪(G\F) = (F∩G')∪(G∩F')
Comment est ce que (F∩G')∪(G∩F') = (F∪G)?

Est ce que je me suis planté quelque part solide? Car je n'y comprend rien.

[Ben314]

Avec cette définition là de , c'est effectivement un peu moins évident.
Donc commence par montrer qu'en fait les éléments de , c'est ceux qui sont dans F ou dans G, mais pas dans les deux à la fois (c'est ce qu'on appelle le "ou exclusif") et donc que .

[Ben314]

Sinon, pour répondre précisément à cette question là :

Comment est ce que (F∩G')∪(G∩F') = (F∪G) ?

Pour que (F∩G')∪(G∩F') ce soit la même chose que (F∪G), il suffit (*) évidement que l'on ait F∩G'=F et G∩F'=G c'est àa dire que ...

(*) En fait c'est un "il faut et il suffit", mais le "il faut" est moins clair que le "il suffit" qui lui est complètement évident.

[SGQC]

Donc, si on revient a mon exercice et que j'ai bien compris:

(A\B) Δ (B\C) = (A\B) ∪ (B\C)
(A∪B) \ (B∩C) = (A\B) ∪ (B\C) | Autre façon de l’écrire
(A∪B) ∩ (B∩C)' = (A∩B') ∪ (B∩C') | Autre façon d’écrire les différence
(A∪B) ∩ (B'∪C') = (A∩B') ∪ (B∩C') | Loi de Morgan
Pour que (A∪B) ∩ (B'∪C') soit égal a (A∩B') ∪ (B∩C'), il suffit que l'on ait A∩B' = A et B∩C' = B
(A∪B) ∩ (B'∪C') = (A ∪ B)
(B'∪C') = Univers
(A∪B) ∩ Univers | Élément neutre
(A∪B) = (A∪B)

Sa marche mais est ce que je l'ai bien fait?

[Ben314]

(A\B) Δ (B\C) = (A\B) ∪ (B\C)
(A∪B) \ (B∩C) = (A\B) ∪ (B\C) | Autre façon de l’écrire

Ben... non... :
EF=(E∪F)\(E∩F)
donc (A\B)(B\C)=(A\B)∪(B\C) \ (A\B)∩(B\C)