Aidez moi 1ére S

[math0889]

Voila j'ai un DM à faire pour la semaine prochaine et il y a un exercice que je ne comprend pas pourriez vous m'aider svp!

Soit un triangle ABC.
a)Démontrer que pour tout point M du plan: AB.CM+BC.AM+CA.BM=0 (tout en vecteur)
b)On note H le point d'intersection des hauteurs issue de B et de C. Démontrer en utilisant l'égalité précédente que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
c)En déduire que dans tout triangle, les trois hauteurs sont concourantes.

[dom85]

bonjour,

AB(CM+AM)+BC.AM+CA(BA+AM)=
AB.CA+AC.AM+BC.AM+CA.BA+CA.AM=
AM(AB+BC+CA)+AB.CA+CA.BA=
AM(AC+CA)+AB.CA-CA.AB=
AM.0+0=0

cette egalité étant vraie pour tout pt du plan , elle est vraie pour H:
AB.CH+BC.AH+CA.BH=0
AB.CH=0 puisque AB perpendiculaire à CH
CA.BH=0 puisque CA perpendiculaire à BH
il reste :
BC.AH=0
donc si le produit csalaire est nul, les vecteurs sont perpendiculaires

AH perpendiculaire à BC donc AH est une hauteur du triangle ABC
comme H est le pt de concours des 2 autres hauteurs ,AH est la 3eme hauteur
les hauteurs d'un triangle sont donc concourantes.

bonne journée

[math0889]

je te remercie tu m'a beaucoup aidée :id:
bonne journée