Le mathématicien arabe du IX ème siècle Muhammad Ibn Musa, surnommé Al-Khwarizmi, a posé et résolu géométriquement le problème suivant: "Trouver un nombre tel que le carré et dix racines égalent 39 unités." On peut traduire cet énoncé par l'équation
(E): x² + 10x = 39, soit x² + 10x - 39 = 0.
A. Méthode algébrique: en modifiant le membre de gauche de l'équation (E), on va obtenir une équation que l'on sait résoudre.
En considérant x² + 10x, on reconnait le début du développement de (x + 5)². En effet, on a (x + 5)² = x² + 10x + 25.
On en déduit que x² + 10x = (x + 5)² - 25. Ainsi, l'équation (E) est équivalente à (x + 5)² - 25 - 39 = 0, c'est à dire
(x + 5)² - 64 = 0 (E'). On dit que (x + 5)² - 64 est la forme canonique de x² + 10x - 39.
1. Factoriser le premier membre de (E'), puis résoudre l'équation.
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Ce que j'ai fait:
1. (x+5)²-64 = (x+5+8)(x+5-8) = (x+13)(x-3)
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B. Méthode Géométrique: la résolution proposée par Al-Khwarizmi s'appuie sur la figure ci-dessous où ABCD est un carré de coté inconnu,
noté x (x > 0), CFIG est un carré de coté 5, DCGH et CBEF sont des rectangles.
a. En considérant les aires, expliquer pourquoi l'équation (E) peut s'écrire: (x + 5)² - 25 = 39.
b. Quelle est la valeur de x calculée par Al-Khwarizmi ?
c. Quel type d'équation peut-on résoudre grâce à cette méthode ?
d. Résoudre l'équation x² + 12x = 85 en utilisant la méthode algébrique vue à la quesion 1.
