Théorème de représentation

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Anonyme

Théorème de représentation

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:44

Bonjour,

Mes souvenirs de prépa sont un peu loin et quelque chose me turlupine.
Il me semblait que le théorème de représentation disait que pour tout
élément f du dual d'un EV E, il existait un élément u de E tel que f(v)
=

Or une distribution est définie comme une forme linéaire sur un espace
de fonctions (je ne me rappelle plus lequel) et on associe les formes
linéaires à des objets qui ne sont pas des fonctions (au sens de
l'espace de départ), comme par exemple le dirac. Où est mon erreur ?

Merci.

--
Nicolas



Anonyme

Re: Théorème de représentation

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:44

Nicolas Le Roux a écrit :
>
> Bonjour,
>
> Mes souvenirs de prépa sont un peu loin et quelque chose me turlupine.
> Il me semblait que le théorème de représentation disait que pour tout
> élément f du dual d'un EV E, il existait un élément u de E tel que f(v)
> =


C'est le lemme de Riesz. Il dit que toute forme linéaire continue (si
l'espace est de dimension finie, toutes les formes linéaires sont
continues) peut être vue comme le produit scalaire par un élément donné,
comme tu le décris.

> Or une distribution est définie comme une forme linéaire sur un espace
> de fonctions (je ne me rappelle plus lequel) et on associe les formes
> linéaires à des objets qui ne sont pas des fonctions (au sens de
> l'espace de départ), comme par exemple le dirac. Où est mon erreur ?


Une distribution est une forme linéaire sur l'espace des fonctions C^oo
à support compact, qui est "continue" au sens où, si on a une suite de
fonctions à support dans un même compact qui converge vers 0
uniformément, et dont chaque dérivée converge vers 0 uniformément, alors
son image par la distribution converge vers 0.

Voilà, j'espère ne pas me gourer... mais pourquoi penses-tu être dans
l'erreur ?

--
Nico.

Anonyme

Re: Théorème dereprésentation

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:44

On Sat, 09 Oct 2004 20:10:55 +0200, Nicolas Richard wrote:

> Voilà, j'espère ne pas me gourer... mais pourquoi penses-tu être dans
> l'erreur ?


Parce qu'il me semblait que "l'élément donné" dont tu parles doit
justement appartenir à l'ensemble, ici C^oo(R) (par exemple). Or la
fonction de Dirac ne me paraît pas super C^oo (ptet en rabotant un peu
le haut).

--
Nicolas

Anonyme

Re: Théorème dereprésentation

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:44

Nicolas Le Roux a écrit :
>
> On Sat, 09 Oct 2004 20:10:55 +0200, Nicolas Richard wrote:
>[color=green]
> > Voilà, j'espère ne pas me gourer... mais pourquoi penses-tu être dans
> > l'erreur ?

>
> Parce qu'il me semblait que "l'élément donné" dont tu parles doit
> justement appartenir à l'ensemble, ici C^oo(R) (par exemple). Or la
> fonction de Dirac ne me paraît pas super C^oo (ptet en rabotant un peu
> le haut).[/color]

Aah, ouais mais non. Les distrib sont des formes linéaires, c'est tout.
Maintenant quand on a une fonction localement intégrable, on peut
effectivement lui associer une distribution qui aura des bonnes
propriétés (à 'f' on associe la distribution \phi -> où est
produit scalaire usuel des fonctions intégrables). Ca permet de voir la
notion de distribution comme une généralisation de la notion de fonction
localement intégrable.
Mais d'autre part, avec des distributions comme le delta de dirac (qui à
\phi associe \phi(0)) on voit qu'on ne peut pas établir une
correspondance : les distributions contienent strictement les fonctions
localement intégrables.

--
Nico.

Anonyme

Re: Théorème de représentation

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:44

"Nicolas Le Roux" a écrit dans le message de news:
slrncmg9dl.tqo.nicolas@bor.iro.umontreal.ca...
> Bonjour,
>
> Mes souvenirs de prépa sont un peu loin et quelque chose me turlupine.
> Il me semblait que le théorème de représentation disait que pour tout
> élément f du dual d'un EV E, il existait un élément u de E tel que f(v)
> =
>
> Or une distribution est définie comme une forme linéaire sur un espace
> de fonctions (je ne me rappelle plus lequel) et on associe les formes
> linéaires à des objets qui ne sont pas des fonctions (au sens de
> l'espace de départ), comme par exemple le dirac. Où est mon erreur ?


Le théorème dont tu parles est le théorème de Riesz qui est valable sur tout
espace de Hilbert (espace euclidien ou hermitien, i.e. avec produit scalaire
et complet, toute suite de Cauchy converge) : tout espace de dimension,
L^2(X), X ensemble quelconque mais il devient faux dans les autres espaces
(par exemple, les banach, complet pour une norme mais ne provenant pas
nécessairement d'un produit scalaire, par exemple L^p(X), avec p2)
Le théorème de Riesz implique que E* est isométrique à E par
x-->(y-->(x,y)). Par exemple, pour c'est faux avec L^(oo) car
(L^(oo)(X))*=L^1(X)
Dans les distributions, tu n'as même plus de normes mais des semi-normes et
le résultat tombe en décripitude !
En particulier, de nombreuses distributions ne peuvent s'identifier à des
fonctions (bien qu'une distribution soit une forme linéaire, continue mais
pas pour une norme mais une topologie, ce qui rend tout plus chaud).
L'exemple le plus basique étant la masse de Dirac, ou des parties finies
(les physiciens adorent := ) )

Si cela peut te réconforter, certaines distributions s'identifie "presque" à
des fonctions. Il s'agit des distributions tempérées.
Soit S l'ensemble des fonctions telles f est C^(oo) et P(x)f^(n)(x)-->0 en
+/-oo pour tout polynôme P,
Tu le munis de la famille de semi-normes N(n,m)=sup(x dans R,
abs(x^n*f^(m)(x))
Cela génére une topologie de Fréchet, et on appelle distribution tempérée
toute forme linéaire sur S continue pour cette topologie.

Théorème : toute distribution tempérée T s'écrit comme une somme finie de
distributions de la forme x^k*f^(n)(x) où k et n sont entiers positifs et f
fonctions dans L^2(R) (la dérivée f^(n) étant prise au sens des
distributions)

Preuve succinte qui utilise l'interprétation Hilbertienne des fonctions à
décroissance rapide d'où la possibilité d'utiliser Hahn-Banach et le
théorème de Riesz (et hop, un exemple pour une leçon d'agreg qui sort un peu
du commun) :

On introduit une autre famille de semi norme M(n,m)=sqrt[ int(t dans R,
(1+x^2)^n*(f^(n)(x))^2 dx
La formule f(x)=int(t dans R, Fourier(f)(t) * exp(itx)et leurs corollaires
f^(n)(x)=int(t dans R, t^n*Fourier(f)*exp(itx)) combinées à l'intégrabilité
des (1+x^2)^(-k) avec k>1 et Cauchy-Schwartz implique la famille (toute
entière) des semi-normes N(n,m) est "équivalente" à la famille (toute
entière) des semi-normes M(n,m)
Elles engendrent alors la même topologie et les formes linéaires sont
continues pour l'une sont continues pour l'autre.

Soit T une telle forme linéaire, la continuité implique qu'il existe un
ensemble fini I de N^2 tel
(*) abs(T(f)), où est le produit
scalaire de L^2(R) (int(t dans R, f(t)g(t) dt)
et on note N la norme associée.
Il est immédiat que H est un Hilbert

Soit A l'application de S dans H définie par f-->([1+x^2)^(i/2)*f^(j)(x)],
(i,j) dans I)
1+x^2)^(i/2)*f^(j)(x)] est dans L^2(R) car f est dans S, et ceci est vrai
pour tout (i,j)

Notons S0 l'image de S par A, ç-à-d S0=A(S) qui est inclu dans H

On définit une forme linéaire L de S0 dans R en posant
(si g est dans A(S) alors il existe (au moins) un élément f de S tel que
g=A(f) et on pose L(g)=T(f) )
Vérifions que L est bien définie (car le f n'est pas unique)
Cela revient à montrer que A(f)=A(h) alors L(f)=L(g)T(f)=T(f)
La linéarité nous ramène à montrer que A(f)=0 alors T(f)=0
Or A(f)=0 signifie que [1+x^2)^i*f^(j)(x)]=0 pour i,j dans I
L'inégalité (*) montre que
abs(T(f)) ), où est le produit
scalaire dans L^2(R)
En choisissant g=A(f) dans S0 (f dans S), on obtient
L'(g)=L(g)=T(f) (par définition de L)
et par construction, g=A(f)=[1+x^2)^(i/2)*f^(j)(x), (i,j) dans I]

L'égalité (**) s'écrit donc
pour tout f dans S,
T(f)=sum((i,j) dans I,
La fonction k_(i,j) étant dans L^2(R), on peut la considérer comme une
distribution. Si l'on note {,} le crochet de dualité des distributions
tempérées
{B,e}=Be, si B est une distribution et e une fonction à décroissance rapide
La définition de la dérivée dans les distributions permet de voir que
={k_(i,j),[1+x^2)^i*f^(j)(x)}={[(1+x^2)^(i/2)k_(
i,j)]^(j),f}

En sommant, on obtient que pour tout f dans S
T(f)={sum((i,j) dans I, [(1+x^2)^(i/2)k_(i,j)]^(j), f}
Puisque l'égalité est vraie pour tout f dans S, on en déduit que
T==sum((i,j) dans I, [(1+x^2)^(i/2)k_(i,j)]^(j)
donc toute distribution tempérée peut être vue comme une somme de dérivées
de fonctions L^2 par des polynômes.
Etonnant, non !

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