SVP Equations différentielles

[Anonyme]

Bonjour,
Je n'aime pas trop demander directement les réponses à un exercice mais là,
je n'arrive vraiment à trouver. C'est pourquoi je fais appel. Si quelqu'un
peut m'aider ?
Les exercices sont les suivants :

Intégrer les équations linéaires suivantes :
(1 - x² ) y' - 2xy = 3 x² - 5 x^'
x ( x + 1) y' + y = Arc tg x
x^3 y' = x² y
y' - ( ( 2xy) / (x² + 1) ) = (2x) / (x² + 1)²

Intégrer les équations homogènes suivantes :
y' = ( -3 x² + y²) / (x² + y²)

Je vous remercie pour vos réponses.

[Anonyme]

"MM" a écrit dans le message de news:
cihn9a$vck$1@news-reader5.wanadoo.fr...
> Bonjour,
> Je n'aime pas trop demander directement les réponses à un exercice mais
> là,
> je n'arrive vraiment à trouver. C'est pourquoi je fais appel. Si quelqu'un
> peut m'aider ?
> Les exercices sont les suivants :
>
> Intégrer les équations linéaires suivantes :
> (1 - x² ) y' - 2xy = 3 x² - 5 x^'
> x ( x + 1) y' + y = Arc tg x
> x^3 y' = x² y
> y' - ( ( 2xy) / (x² + 1) ) = (2x) / (x² + 1)²
>
> Intégrer les équations homogènes suivantes :
> y' = ( -3 x² + y²) / (x² + y²)

Tu devrais indiquer ton niveau pour que l'on puisse t'aiguiller ! Les quatre
premières (erreur de frappe en fin de première !) se résolvent en traitant
l'équation homogène associée puis en cherchant une solution particulière de
l'équation complète (avec la méthode de variation de la constante par ex).

DS
--
Une condition suffisante d'unicité locale est que la restriction à l'espace
vectoriel des champs cinématiquement admissibles avec 0 du Hessien de
l'énergie potentielle pour le déplacement solution considéré ne soit pas
dégénérée. (J.Kerbrat)

[Anonyme]

En fait, j'ai pas un niveau très élevés. J'ai bien un bac pro de compta
mais ce n'est pas là que j'ai étudié les équations différentielles. En fait,
je fais actuellement une formation par l'intermédiaire de l'ANPE mais par
correspondance (donc sans prof). Et j'ai un exercice sur les équations
différentielles. Le cours se résume à une page et je ne peux pas dire que
j'ai tout compris.
C'est pour celà que je demande les réponses de ces équations là. Je pense
avoir réussi le reste des exercices. Mais pas ceux-là.
Alors merci encore pour l'aide que vous pourrez m'apporter.
MM

> Tu devrais indiquer ton niveau pour que l'on puisse t'aiguiller ! Les
quatre
> premières (erreur de frappe en fin de première !) se résolvent en traitant
> l'équation homogène associée puis en cherchant une solution particulière
de
> l'équation complète (avec la méthode de variation de la constante par ex).
>
> DS
> --

[Anonyme]

On Sat, 18 Sep 2004 18:20:46 +0200, "MM"
wrote:

>Bonjour,
>Je n'aime pas trop demander directement les réponses à un exercice mais là,
>je n'arrive vraiment à trouver. C'est pourquoi je fais appel. Si quelqu'un
>peut m'aider ?
>Les exercices sont les suivants :
>
>Intégrer les équations linéaires suivantes :
>(1 - x² ) y' - 2xy = 3 x² - 5 x^'
>x ( x + 1) y' + y = Arc tg x
>x^3 y' = x² y
>y' - ( ( 2xy) / (x² + 1) ) = (2x) / (x² + 1)²
>
>Intégrer les équations homogènes suivantes :
>y' = ( -3 x² + y²) / (x² + y²)
>
>Je vous remercie pour vos réponses.
je détaille un peu ce qu'à dit Dominique Sourie
car une seule page de cours ca me paraît rapide;
pour la 1ère
on commence par résoudre l'éq sans second membre
y'/y=2x/(1-x^2)
(je passe sous silence que 1-x^2 peut s'annuler : en toute rigueur
faudrait travailler sur un intervalle où 1-x^2 n'est pas nul)

or droite et gauche sont de la forme u'/u ou -u'/u
on peut donc primitiver
ln|y|=-ln|1-x^2|+k , k constante qq
on passe à l'exponentielle
y=K/(1-x^2) , K constante qq
et maintenant pour avoir la sol de l'équation on fait la varaition de
la constante cad on reporte y=K/(1-x^2)
dans l'équation en supposant K dépendant de x
et on trouve (les termes en K se simplifient)
K'=3x^2-5x^4 (cad le second membre , en admettant que c'est 5x^4 ), ce
qui va donner
K=x^3-x^5+C , C constante ;
et la sol générale (sur un intervalle où 1-x^2 n'est pas nul)
est C/(1-x^2)+(x^3-x^5)/(1-x^2)=C/(1-x^2)+x^3
= sol générale de l'équa sans sec membre+une sol particulière de
l'équation compléte ;

voilà
même méthode pour la suivante mais bon là pour trouver K'
ce me semble plus délicat
si je me suis pas trompé,...., K'=Arctanx/(1+x)2 : faudrait faire une
intégration par partie
et et on tombe sur 1/((x+1)*(x^2+1)) à primitiver......
et il faut alors décomposer en éléments simples.., bof..)


quant à l'équation homogéne il y a aussi une méthode particulière
on pose y/x=t
ainsi on peut écrire y'=(-3+t^2)/(1+t^2)
mais cet y' est dy/dx
or y=xt
donc
dy/dx=t+xdt/dx
et on va obtenir dx/x=f(t)dt
et faudra trouver une primitive de f
ainsi on a x et y en fonction de t
cad on obtient une représentation paramètrique des solutions
en éliminant t=y/x on peut obtenir une équation cartésienne
*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

*****************

[Anonyme]

Merci pour les détails. Je vais essayer de mieux comprendre les calculs et
voir si j'y arrive pour celles-là.
MM

"Marc Pichereau" a écrit dans le
message de news:414c939f.14453920@news.wanadoo.fr...
> On Sat, 18 Sep 2004 18:20:46 +0200, "MM"
> wrote:
>[color=green]
> >Bonjour,
> >Je n'aime pas trop demander directement les réponses à un exercice mais[/color]
là,[color=green]
> >je n'arrive vraiment à trouver. C'est pourquoi je fais appel. Si[/color]
quelqu'un[color=green]
> >peut m'aider ?
> >Les exercices sont les suivants :
> >
> >Intégrer les équations linéaires suivantes :
> >(1 - x² ) y' - 2xy = 3 x² - 5 x^'
> >x ( x + 1) y' + y = Arc tg x
> >x^3 y' = x² y
> >y' - ( ( 2xy) / (x² + 1) ) = (2x) / (x² + 1)²
> >
> >Intégrer les équations homogènes suivantes :
> >y' = ( -3 x² + y²) / (x² + y²)
> >
> >Je vous remercie pour vos réponses.
> je détaille un peu ce qu'à dit Dominique Sourie
> car une seule page de cours ca me paraît rapide;
> pour la 1ère
> on commence par résoudre l'éq sans second membre
> y'/y=2x/(1-x^2)
> (je passe sous silence que 1-x^2 peut s'annuler : en toute rigueur
> faudrait travailler sur un intervalle où 1-x^2 n'est pas nul)
>
> or droite et gauche sont de la forme u'/u ou -u'/u
> on peut donc primitiver
> ln|y|=-ln|1-x^2|+k , k constante qq
> on passe à l'exponentielle
> y=K/(1-x^2) , K constante qq
> et maintenant pour avoir la sol de l'équation on fait la varaition de
> la constante cad on reporte y=K/(1-x^2)
> dans l'équation en supposant K dépendant de x
> et on trouve (les termes en K se simplifient)
> K'=3x^2-5x^4 (cad le second membre , en admettant que c'est 5x^4 ), ce
> qui va donner
> K=x^3-x^5+C , C constante ;
> et la sol générale (sur un intervalle où 1-x^2 n'est pas nul)
> est C/(1-x^2)+(x^3-x^5)/(1-x^2)=C/(1-x^2)+x^3
> = sol générale de l'équa sans sec membre+une sol particulière de
> l'équation compléte ;
>
> voilà
> même méthode pour la suivante mais bon là pour trouver K'
> ce me semble plus délicat
> si je me suis pas trompé,...., K'=Arctanx/(1+x)2 : faudrait faire une
> intégration par partie
> et et on tombe sur 1/((x+1)*(x^2+1)) à primitiver......
> et il faut alors décomposer en éléments simples.., bof..)
>
>
> quant à l'équation homogéne il y a aussi une méthode particulière
> on pose y/x=t
> ainsi on peut écrire y'=(-3+t^2)/(1+t^2)
> mais cet y' est dy/dx
> or y=xt
> donc
> dy/dx=t+xdt/dx
> et on va obtenir dx/x=f(t)dt
> et faudra trouver une primitive de f
> ainsi on a x et y en fonction de t
> cad on obtient une représentation paramètrique des solutions
> en éliminant t=y/x on peut obtenir une équation cartésienne
> *****************
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> Pichereau Alain
>
> adresse mail antispam
> http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
> ( olympiades mathématiques 1ère S )
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