Suites et intégrales

[Anonyme]

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Bonjour tout le monde,

Je me trouve face à des difficultés pour un exercice, ça fait déjà quelques
jours que je réfléchis dessus... je ne demande pas de réponses toutes faites
mais juste un peu d'aide pour me guider sur le bon chemin... merci d'avance

Partie B pour cette partie {(de 0 à 1) équivaut à intégrale de 0 à 1
et (-1)^(n-1) équivaut à -1 à la puissance n-1

La continuité assure l'existence de l'intégrale J. On ne cherchera pas à
calculer une primitive de f.

I. Etude d'une intégrale auxiliaire

n est un entier naturel, n > ou = 1.
On note gn la fonction définie sur [0; 1] par :
gn(t)=-t"lnt si t>O et gn(O)=O.

1. Vérifiez que gn est continue sur [o; 1].

2. On note Gn la fonction définie sur [0; 1] par :
{ Gn(t)=-[t^(n+1)*lnt]/(n+1) + t^(n+1)/(n+1)² si t>0
Gn(O) = 0

a) Démontrez que Gn est une primitive de gn sur [0; 1].

b) Déduisez-en Jn = {(de 0 à 1) gn(t)dt.

II. Etude de J

1. t est un réel et n est un entier, n> ou =1.
a) Calculez Pn(t) = (1 + t) [1- t + t² + ... + (-1)^(n-1)*t^(n-1)].

b) Déduisez-en que pour tout réel t différent de -1 :

1/(1+t)=1-t+t²+...+(-1)^(n-1)*t^(n-1)+(-1)^n *[t^n/(1+t)]

C) Démontrez que pour tout t dans [0; 1] :

f(t) = g2(t) -g3(t) + ... + (-1)^(n-1)*gn+1(t) + (-1)^n*[(gn+2)(t)/(1 + t)]
puis
que :
J=J2-J3+J4+...+(-1)^(n-1)*Jn+1+(-1)n {(de 0à1) (gn+2)/(1+t)dt.
)o 1 + t

d) En majorant [gn+2(t)]/1+t démontrez que :

0 ou = 1 ; on note :

Sn= (1/3²)-(1/4²)+...+(-1)^n-1 *[1/(n+2)²]

a) Démontrez que lim lorsque n tend vers plus l'infini de Sn = J.

b) Démontrez que S8 < J < S9 .
c) Déduisez-en une valeur approchée de J à 5 x 10-3 près exprimée avec trois
décimales.


Merci d'avance
Caroline
jkimmel@noos.fr

[Anonyme]

jk a écrit

> n est un entier naturel, n > ou = 1.
> On note gn la fonction définie sur [0; 1] par :
> gn(t)=-t"lnt si t>O et gn(O)=O.
> 1. Vérifiez que gn est continue sur [o; 1].

On note comme cela :
g_n(t) = - t^n * ln(t) si t > 0 et g-n(0) = 0

g_n est continue sur ]0,1] car c'est le produit
de fonctions continues sur ]0,1].

De plus g_n est continue à droite en 0, car
quand t --> 0 lim g_n(t) = g_n(0) ( = 0 )

Donc g_n est continue sur (0,1]

lim { [g_n(t) - g_n(0)] / t } = 0 = lim g'_n

> 2. On note Gn la fonction définie sur [0; 1] par :
> { Gn(t)=-[t^(n+1)*lnt]/(n+1) + t^(n+1)/(n+1)² si t>0
> Gn(O) = 0
> a) Démontrez que Gn est une primitive de gn sur [0; 1].

G_n(t) = - [t^(n+1) * ln(t)] / (n+1) + t^(n+1) / (n+1)² si t>0
Gn(0) = 0

Il suffit de montrer que pour t dans [0,1], G'_n(t) = g_n(t)

G_n est dérivable sur ]0,1] car c'est le produit de
fonctions dérivables sur ]0,1] et sa dérivée est
(après calcul) : G'_n(t) = - t^n * ln(t) = g_n(t)

De plus G_n est dérivable à droite en 0 car
lim { [G_n(t) - G_n(0)] / t } = 0 = G'_n(0)
et ici encore G'_n(0) = g_n(0)

Donc G_n est dérivable sur [0,1] et G'_n = g_n

> b) Déduisez-en Jn = {(de 0 à 1) gn(t)dt.

J_n = G_n(1) - G_n(0)
= faire le calcul

etc
Pierre

[Anonyme]

Excuse-moi j'ai fait trop de fautes de frappe.
Je corrige

> n est un entier naturel, n > ou = 1.
> On note gn la fonction définie sur [0; 1] par :
> gn(t)=-t"lnt si t>O et gn(O)=O.
> 1. Vérifiez que gn est continue sur [o; 1].

On note comme cela :
g_n(t) = - t^n * ln(t) si t > 0 et g_n(0) = 0

g_n est continue sur ]0,1] car c'est le produit
de fonctions continues sur ]0,1].

De plus g_n est continue à droite en 0, car
quand t --> 0 lim g_n(t) = g_n(0) ( = 0 )

Donc g_n est continue sur [0,1]

> 2. On note Gn la fonction définie sur [0; 1] par :
> { Gn(t)=-[t^(n+1)*lnt]/(n+1) + t^(n+1)/(n+1)² si t>0
> Gn(O) = 0
> a) Démontrez que Gn est une primitive de gn sur [0; 1].

G_n(t) = - [t^(n+1) * ln(t)] / (n+1) + t^(n+1) / (n+1)² si t > 0
Gn(0) = 0

Il suffit de montrer que pour t dans [0,1], G'_n(t) = g_n(t)

G_n est dérivable sur ]0,1] car c'est le produit de
fonctions dérivables sur ]0,1] et sa dérivée est
(après calcul) : G'_n(t) = - t^n * ln(t) = g_n(t)

De plus G_n est dérivable à droite en 0 car
lim { [G_n(t) - G_n(0)] / t } = 0 = G'_n(0)
et ici encore G'_n(0) = g_n(0)

Donc G_n est dérivable sur [0,1] et G'_n = g_n

> b) Déduisez-en Jn = {(de 0 à 1) gn(t)dt.

J_n = G_n(1) - G_n(0)
= faire le calcul

etc
Pierre