Suite et point fixe

[Anonyme]

> Bonjour je souhaiterais savoir comment résoudre l'exercice suivant :
>
> Soit f une application de I = [a,b] dans I =[a,b] telle que :
>
> Quel que soit (u,v) appartenant à I^2 abs(f(u) - f(v))
> On admettra que f est contiunue sur I et que le théorème des valeurs
> intermédiaires assure l'existence d'un point fixe pour f. On remarquera
> que
> ce point fixe est alors unique.
>
> On définit une suite (x(n)) par x(0) appartient I et pour n >=1 x(n) =
> f(x(n-1))
> Montrer que la suite (x(n)) converge vers l'unique point fixe de f .
>
>

[Anonyme]

Merci de n'avoir pas répondu sur ce coup j'ai trouvé par moi meme ce qui
n'est pas plus mal.
Il suffisait de montrer que abs(x(n+1) - x(n)) tend vers 0
puis que x(n) est une suite de cauchy et comme R est complet alors x(n)
converge

Gauss

"Gauss" a écrit dans le message de news:
41740071$0$26263$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
>
>
>[color=green]
>> Bonjour je souhaiterais savoir comment résoudre l'exercice suivant :
>>
>> Soit f une application de I = [a,b] dans I =[a,b] telle que :
>>
>> Quel que soit (u,v) appartenant à I^2 abs(f(u) - f(v)) >
>> On admettra que f est contiunue sur I et que le théorème des valeurs
>> intermédiaires assure l'existence d'un point fixe pour f. On remarquera
>> que
>> ce point fixe est alors unique.
>>
>> On définit une suite (x(n)) par x(0) appartient I et pour n >=1 x(n)
>> =
>> f(x(n-1))
>> Montrer que la suite (x(n)) converge vers l'unique point fixe de f .
>>
>>
>
>[/color]

[Anonyme]

le point fixe est bien unique d'après l'inegalite stricte.
L'intervalle est compact donc comme la suite est à valeurs dans ce compact on
peut en extraire une soussuite convergente. Sa limite ne peut etre que le point
fixe.
Supposons que la suite ne converge pas vers le point fixe alors elle admet une
autre valeur vers laquelle elle converge ce qui est impossible donc elle
converge!

T'es en prépa ? A laquelle?

[Anonyme]

Llio1c wrote:
> le point fixe est bien unique d'après l'inegalite stricte.
> L'intervalle est compact donc comme la suite est à valeurs dans ce compact on
> peut en extraire une soussuite convergente. Sa limite ne peut etre que le point
> fixe.
> Supposons que la suite ne converge pas vers le point fixe alors elle admet une
> autre valeur vers laquelle elle converge ce qui est impossible donc elle
> converge!

Tout ceci est un peu confus ... Le lemme utilise est
"Une suite a valeurs dans un compact converge si et seulement si
l'ensemble de ses valeurs d'adherence est reduit a un point."
Dont la preuve est par ailleurs immediate.

Le resultat que tu sembles utiliser serait
"une suite dont toutes les sous-suites extraites qui convergent
le font vers un seul et meme point est elle-meme convergente"
et est a mon avis faux. (un procede diagonal de construction
avec des sous-suites réelles qui sont tres grandes au depart
puis tendent vers 0 me semble aboutir a un contre-exemple).

JQCA,
Amitiés,
Olivier

[Anonyme]

Merci de votre aide
je suis dans une prépa parisienne en MPSI
"Olve" a écrit dans le message de news:
41754d97$0$31739$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Llio1c wrote:[color=green]
>> le point fixe est bien unique d'après l'inegalite stricte.
>> L'intervalle est compact donc comme la suite est à valeurs dans ce
>> compact on
>> peut en extraire une soussuite convergente. Sa limite ne peut etre que le
>> point
>> fixe.
>> Supposons que la suite ne converge pas vers le point fixe alors elle
>> admet une
>> autre valeur vers laquelle elle converge ce qui est impossible donc elle
>> converge!
>
> Tout ceci est un peu confus ... Le lemme utilise est
> "Une suite a valeurs dans un compact converge si et seulement si
> l'ensemble de ses valeurs d'adherence est reduit a un point."
> Dont la preuve est par ailleurs immediate.
>
> Le resultat que tu sembles utiliser serait
> "une suite dont toutes les sous-suites extraites qui convergent
> le font vers un seul et meme point est elle-meme convergente"
> et est a mon avis faux. (un procede diagonal de construction
> avec des sous-suites réelles qui sont tres grandes au depart
> puis tendent vers 0 me semble aboutir a un contre-exemple).
>
> JQCA,
> Amitiés,
> Olivier
>[/color]

[Anonyme]

"Olve" a écrit dans le message news:
41754d97$0$31739$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Llio1c wrote:
[color=green]
> > Supposons que la suite ne converge pas vers le point fixe alors elle[/color]
admet une[color=green]
> > autre valeur vers laquelle elle converge ce qui est impossible donc elle
> > converge![/color]
[...]

> Le resultat que tu sembles utiliser serait
> "une suite dont toutes les sous-suites extraites qui convergent
> le font vers un seul et meme point est elle-meme convergente"
> et est a mon avis faux. (un procede diagonal de construction
> avec des sous-suites réelles qui sont tres grandes au depart
> puis tendent vers 0 me semble aboutir a un contre-exemple).

Je pense qu'avec ton idée il existera forcément un intervalle [eps, qqchose]
contenant une infinité de termes de la suite, donc un point d'accumulation,
qui contredirait l'hypothèse (remarque purement intuitive).

En fait, je crois que le résultat de Llio1c fonctionne : voyons par
l'absurde.
Soit (un) une suite à valeurs dans un compact dont toutes les sous-suites
convergentes le font vers une même limite "a". Si (un) n'y converge pas elle
même, il existe un voisinage ouvert auquel échappe une infinité de termes de
(un). Ainsi a-t-on une sous-suite dont toutes les valeurs se trouvent dans
un autre compact, le complémentaire de notre voisinage. Elle possède donc
elle-même une sous-suite convergente, dont la limite ne peut certainement
pas être a, contredisant l'hypothèse.

C'est correct ?

Hib.

[Anonyme]

> Soit (un) une suite à valeurs dans un compact
^^^^^^^
Evidemment avec une telle hypothese ! Mais le raisonnement
propose ne s'en servait pas a ce point Et c'est ce point
que j'esperais eclairer. Mais peut etre le resultat fonctionne
t'il sans hypothese de compacite.
Amities,
Olivier

[Anonyme]

"Olve" a écrit dans le message news:
4176a9dd$0$28609$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > Soit (un) une suite à valeurs dans un compact
> ^^^^^^^
> Evidemment avec une telle hypothese ![/color]

Oui, mais bon, sans hypothèses tu peux construire des contre-exemples à
presque n'importe quoi (pardon de généraliser au lance-flamme, c'est mes
gènes). Donc prenons u(2n) = n et u(2n+1) = 1/n, toute sous-suite
convergente tend vers 0, mais pas la suite en entier. Là.

T'es content ?



Hib.

[Anonyme]

> Oui, mais bon, sans hypothèses tu peux construire des contre-exemples à
> presque n'importe quoi

Sauf a des theoremes. Remarques, pour les lemmes, ca marche aussi.
Olivier

[Anonyme]

"Olve" a écrit dans le message news:
4176c9ad$0$28561$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > Oui, mais bon, sans hypothèses tu peux construire des contre-exemples à
> > presque n'importe quoi
>
> Sauf a des theoremes. Remarques, pour les lemmes, ca marche aussi.
> Olivier
>[/color]

P

[Anonyme]

Oui je suis entierement d'accord si je fais l'effort de te comprendre (cela
correspond au probleme de double limite ) car sinon la suite elle meme est une
soussuite donc converge!
:p
Bon pour éclaicir et ne pas laisser planer de doute: on oublie la soussuite!
Supposons que la suite ne converge pas vers le point fixe. Alors on peut
trouver un voisinage ouvert du point fixe dans le complémentaire du quel vit
une soussuite qui converge (puisqu'elle est encore à valeur dans un compact
quite à en prendre une sousuite). Ca y est ! Ce n'est pas possible:il n'y a
qu'un point fixe. Donc l'hypothèse de départ était fausse.
Je n'aime pas avoir à faire dans le détail. Mais il est tout à fait vrai que la
démo était embrouillée voire fausse. Seulement il y avait les idées nécessaires
à la démo ...
bon je suis un peu vexouille mais pas trop.
Si la démo est encore foireuse faites le moi savoir.

[Anonyme]

> Je n'aime pas avoir à faire dans le détail. Mais il est tout à fait vrai que la
> démo était embrouillée voire fausse. Seulement il y avait les idées nécessaires
> à la démo ...

Tout a fait, je ne tenais a mettre les choses tres a plat
que pour les debutants. C'est clair qu'avec ta reponse,
et un tant soit peu d'aisance dans le domaine, conclure
etait facile.

> bon je suis un peu vexouille mais pas trop.

Fo pas, la preuve n'etait pas vraiment fausse d'ailleurs,
elle pouvait seulement etre mal comprise.

Et puis, cela m'a permis de jouer les peperes pointilleux
Amities,
Olivier