Représentation d'un surface de l'espace dans le plan

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Anonyme

Représentation d'un surface de l'espace dans le plan

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:23

Bonjour à tous,

Je cherche à tracer une surface de l'espace sur une feuille de papier (donc
dans le plan) en traçant des droites d'intersections de plans avec cette
surface.

Il est possible d'obtenir toutes les figures suivantes avec des logiciels,
mais j'aimerais pouvoir le faire "à la main".


======================================
Equations préliminaires :

Comme exemple j'ai choisi la surface
(S) : z = x^2 * y
(avec x et y compris entre -1 et 1).

Pour ne pas avoir sur ma feuille une zone toute coloriée représentant la
surface, je cherche les intersections de la surface avec des plans
parallèles à (yOz) et (xOz).

Intersections de (S) avec (Pk), plan parallèle à (yOz) d'équation x = k :
(Pk) : x = k
(S) : z = x^2 * y
Soit le système :
x = k
z = k^2 * y

De même, on trouve pour l'intersection de (S) avec des plans (Qk')
d'équation y = k' :
y = k'
z = x^2 * k'

Ces deux systèmes sont les équations de courbes appartenant à (S), tout ça
dans l'espace. Maintenant,
moi je les voudrais projetées dans le plan :-)


======================================
On est dans l'espace dans le repère (O ; i, j, k) orthonormé direct.
Le plan de la feuille est (O ; u, v) orthonormé direct.

Le point O de l'espace est dans le plan de la feuille (même origine pour les
deux repères).
On a comme égalités de vecteurs :
j = u
k = v

Le dernier vecteur i n'est pas dans le plan de la feuille.
Voici le repère de l'espace tel que je l'ai choisi :
http://perso.wanadoo.fr/nbr/47/espace.bmp
(i est vers l'avant)
Au cas où, voici aussi le repère du plan :
http://perso.wanadoo.fr/nbr/47/plan.bmp
Et tant que j'y suis, voilà à quoi ressemble la surface (S) :
http://perso.wanadoo.fr/nbr/47/surface.gif
Attention, ce n'est pas la vue que je veux obtenir dans le plan de la
feuille !
(Tout est tracé pour des valeurs de x et y comprises entre -1 et 1, avec k
et k' variant de -1 à 1 par pas de 0,1.)


Si un point M de l'espace a pour coordonnées (x, y, z) et que son projeté M'
dans le plan a pour coordonnées (X, Y), on trouve alors les relations
suivantes :
X = y - 0,5x
Y = z - 0,5x

C'est à partir d'ici que je coince :-(
Je n'arrive pas à introduire ces relations dans les deux équations de
droites (intersections de la surface avec des plans) de façon à n'avoir plus
de x, y ou z, mais seulement X et Y.
Comment faire ?


======================================
Deuxième partie du problème :

L'exemple précédant montre (enfin devrait montrer, puisque je n'y suis pas
arrivé :-) le projeté des courbes de la surface dans le plan pour une
position donnée du repère d'espace par rapport à (O ; u, v).
Pour aller plus loin, je voudrais généraliser et pouvoir tracer, dans le
plan, les courbes (intersections de la surface et de plans) de l'espace quel
que soit le côté par lequel on les regarde. (L'idée, c'est de pouvoir faire
tourner le repère de l'espace dans différentes positions par rapport au plan
de la feuille afin de mieux pouvoir visualiser la surface.)

Là, je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour exprimer le "côté par
lequel on regarde le repère de l'espace". Je pense qu'on peut définir la
position du repère (O ; i, j, k) par rapport au repère (O ; u, v) en fixant
deux angles orientés :
(u, j) et (v, k)
(On pourrait en choisir d'autres...)
Je ne sais pas si c'est la meilleure solution, et je sais encore moins
comment trouver encore une fois les équations des projetés des vecteurs
unitaires, puis les équations dans le plan deux courbes appartenant à (S).


Je remercie déjà ceux qui sont arrivés au bout de mon message et encore plus
ceux qui vont essayer de m'aider dans ce problème.
Pour les réponses, merci de les adapter à un niveau TS, si c'est possible
:-)


--
Nicolas B.



Anonyme

Re: Représentation d'un surface de l'espace dans le plan

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:24

"Nicolas B." a écrit dans le message de
news: ccb6oq$dmi$1@news-reader4.wanadoo.fr...
> Bonjour à tous,
>
> Je cherche à tracer une surface de l'espace sur une feuille de papier

(donc
> dans le plan) en traçant des droites d'intersections de plans avec cette
> surface.
>
> Il est possible d'obtenir toutes les figures suivantes avec des logiciels,
> mais j'aimerais pouvoir le faire "à la main".
>
>
> ======================================
> Equations préliminaires :
>
> Comme exemple j'ai choisi la surface
> (S) : z = x^2 * y
> (avec x et y compris entre -1 et 1).
>
> Pour ne pas avoir sur ma feuille une zone toute coloriée représentant la
> surface, je cherche les intersections de la surface avec des plans
> parallèles à (yOz) et (xOz).
>
> Intersections de (S) avec (Pk), plan parallèle à (yOz) d'équation x = k :
> (Pk) : x = k
> (S) : z = x^2 * y
> Soit le système :
> x = k
> z = k^2 * y
>
> De même, on trouve pour l'intersection de (S) avec des plans (Qk')
> d'équation y = k' :
> y = k'
> z = x^2 * k'
>
> Ces deux systèmes sont les équations de courbes appartenant à (S), tout ça
> dans l'espace. Maintenant,
> moi je les voudrais projetées dans le plan :-)
>
>
> ======================================
> On est dans l'espace dans le repère (O ; i, j, k) orthonormé direct.
> Le plan de la feuille est (O ; u, v) orthonormé direct.
>
> Le point O de l'espace est dans le plan de la feuille (même origine pour

les
> deux repères).
> On a comme égalités de vecteurs :
> j = u
> k = v
>
> Le dernier vecteur i n'est pas dans le plan de la feuille.
> Voici le repère de l'espace tel que je l'ai choisi :
> http://perso.wanadoo.fr/nbr/47/espace.bmp
> (i est vers l'avant)
> Au cas où, voici aussi le repère du plan :
> http://perso.wanadoo.fr/nbr/47/plan.bmp
> Et tant que j'y suis, voilà à quoi ressemble la surface (S) :
> http://perso.wanadoo.fr/nbr/47/surface.gif
> Attention, ce n'est pas la vue que je veux obtenir dans le plan de la
> feuille !
> (Tout est tracé pour des valeurs de x et y comprises entre -1 et 1, avec k
> et k' variant de -1 à 1 par pas de 0,1.)
>
>
> Si un point M de l'espace a pour coordonnées (x, y, z) et que son projeté

M'
> dans le plan a pour coordonnées (X, Y), on trouve alors les relations
> suivantes :
> X = y - 0,5x
> Y = z - 0,5x
>
> C'est à partir d'ici que je coince :-(
> Je n'arrive pas à introduire ces relations dans les deux équations de
> droites (intersections de la surface avec des plans) de façon à n'avoir

plus
> de x, y ou z, mais seulement X et Y.
> Comment faire ?
>
>
> ======================================
> Deuxième partie du problème :
>
> L'exemple précédant montre (enfin devrait montrer, puisque je n'y suis pas
> arrivé :-) le projeté des courbes de la surface dans le plan pour une
> position donnée du repère d'espace par rapport à (O ; u, v).
> Pour aller plus loin, je voudrais généraliser et pouvoir tracer, dans le
> plan, les courbes (intersections de la surface et de plans) de l'espace

quel
> que soit le côté par lequel on les regarde. (L'idée, c'est de pouvoir

faire
> tourner le repère de l'espace dans différentes positions par rapport au

plan
> de la feuille afin de mieux pouvoir visualiser la surface.)
>
> Là, je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour exprimer le "côté par
> lequel on regarde le repère de l'espace". Je pense qu'on peut définir la
> position du repère (O ; i, j, k) par rapport au repère (O ; u, v) en

fixant
> deux angles orientés :
> (u, j) et (v, k)
> (On pourrait en choisir d'autres...)
> Je ne sais pas si c'est la meilleure solution, et je sais encore moins
> comment trouver encore une fois les équations des projetés des vecteurs
> unitaires, puis les équations dans le plan deux courbes appartenant à (S).
>
>
> Je remercie déjà ceux qui sont arrivés au bout de mon message et encore

plus
> ceux qui vont essayer de m'aider dans ce problème.
> Pour les réponses, merci de les adapter à un niveau TS, si c'est possible
> :-)
>
>
> --
> Nicolas B.


Soit S la surface d'équation F(x ; y ; z) = 0
étudier et tracer l'une après l'autre les courbes (Lk) d'équation F(x; y ;
k) = 0 en faisant varier les valeurs du paramètre k
Par exemple, soit l'hyperboloïde x² + y² - 1 - z² = 0
Les courbes (Lr) d'équation x² + y² - 1 - r² = 0 sont toutes des cercles
d'axe (oz)
(et de rayon R = rac(1 + r²) ) ;
faire varier, par exemple, k entier de -5 à 5.
Hannibal

Anonyme

Re: Représentation d'un surface de l'espace dans le plan

par Anonyme » 30 Avr 2005, 19:24

Merci pour ton exemple, mais mon problème se situe en fait au niveau des
changements de repères (projeté des courbes de l'espace dans le plan).
Avec ton exemple, je peux tracer la surface dans un plan normal à (Oz), mais
je n'arrive pas ensuite à la tracer pour d'autres plans de feuille (même
assez simples).


Merci quand même.
A+
--
Nicolas B.


Hannibal BARCA nous a écrit
dans le message cch4j2$j2t$1@news-reader2.wanadoo.fr :
>
> Soit S la surface d'équation F(x ; y ; z) = 0
> étudier et tracer l'une après l'autre les courbes (Lk) d'équation
> F(x; y ; k) = 0 en faisant varier les valeurs du paramètre k
> Par exemple, soit l'hyperboloïde x² + y² - 1 - z² = 0
> Les courbes (Lr) d'équation x² + y² - 1 - r² = 0 sont toutes des
> cercles d'axe (oz)
> (et de rayon R = rac(1 + r²) ) ;
> faire varier, par exemple, k entier de -5 à 5.
> Hannibal

 

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