Prolongement d'une fct exponentielle

[Anonyme]

Bonsoir

J'ai la fonction suivante f(x) = exp(-1/x^2) il faut étudier son
prolongement en 0 ainsi que pour sa dérivée.
En cherchant la limite directement j'ai une forme indeterminée. J'ai
essayé avec les DL je ne sais pas si je les utilise bien mais je
trouve lim 1+Y+(1/Y^2) = 1 avec Y = -1/x^2
Pour la dérivée je la trouve non prolongeable lim en 0 infini ( je
trouve comme dérivée si je ne me suis pas gourée dans les formules
f'(x)= 1/x^3 * exp ( -1/x^2) )...
Je ne sais pas si c'est juste
Merci
B.

[Anonyme]

B?n?dicte a émis l'idée suivante :
> Bonsoir
>
> J'ai la fonction suivante f(x) = exp(-1/x^2) il faut étudier son
> prolongement en 0 ainsi que pour sa dérivée.

En posant f(0)=0, f est continue sur lR.
C'est en fait un exemple de fonction C^{infini} mais non développable
en série entière.

Si tu es en spé, tu connais sûrement ce théorème :
Si f est une application de [a,b] dans un lK-evn E telle que :
1. f est continue sur [a,b]
2. f est C^1 sur ]a,b]
3. f'(x) tend vers l quand x->a
Alors :
f est C^1 sur [a,b] et f'(a) = l.

Certains appellent ceci "théorème de prolongement C^1".
Ce n'est pas un très bon choix de nommer ce théorème ainsi car on ne
prolonge pas f (comme je l'ai fait plus haut en posant f(0)=0), f est
déjà définie en a et ce théorème *prouve* que f est C^1 en a.

[Anonyme]

> Si tu es en spé, tu connais sûrement ce théorème :
> Si f est une application de [a,b] dans un lK-evn E telle que :
> 1. f est continue sur [a,b]
> 2. f est C^1 sur ]a,b]
> 3. f'(x) tend vers l quand x->a
> Alors :
> f est C^1 sur [a,b] et f'(a) = l.
>
> Certains appellent ceci "théorème de prolongement C^1".
> Ce n'est pas un très bon choix de nommer ce théorème ainsi car on ne
> prolonge pas f (comme je l'ai fait plus haut en posant f(0)=0), f est déjà
> définie en a et ce théorème *prouve* que f est C^1 en a.

Très juste, car ceci est faux si on ne suppose pas f continue en a, comme le
montre l'exemple de la partie entière...
En fait, ce théorème se voit encore en sup, comme application de l'égalité
des accroissements finis.

--
Mû

[Anonyme]

"B?n?dicte" a écrit dans le message de news:
4fe70f6b.0503011350.55c42fce@posting.google.com...
> Bonsoir
>
> J'ai la fonction suivante f(x) = exp(-1/x^2) il faut étudier son
> prolongement en 0 ainsi que pour sa dérivée.
> En cherchant la limite directement j'ai une forme indeterminée. J'ai
> essayé avec les DL je ne sais pas si je les utilise bien mais je
> trouve lim 1+Y+(1/Y^2) = 1 avec Y = -1/x^2
> Pour la dérivée je la trouve non prolongeable lim en 0 infini ( je
> trouve comme dérivée si je ne me suis pas gourée dans les formules
> f'(x)= 1/x^3 * exp ( -1/x^2) )...

Le DL que tu utilises suppose que Y --> 0 ce qui n'est visiblement pas le
cas (Y tend vers -oo !!!) donc tu ne peux l'utiliser (le DL)
Par contre, le changement de variable est convenable.
Je vais plutôt poser Z = 1/x^2 (inutile de s'embêter avec des constantes
multiplicitatives). Puisque x-->0 alors Z-->+oo
Ensuite, x = 1/sqrt(Z) donc lim(x-->0, f'(x) ) = lim(Z-->+oo, Z^3/2
*exp(-Z) ) et cette limite est connue (et elle est finie !)


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[Anonyme]

> Le DL que tu utilises suppose que Y --> 0 ce qui n'est visiblement pas le
> cas (Y tend vers -oo !!!) donc tu ne peux l'utiliser (le DL)
> Par contre, le changement de variable est convenable.
> Je vais plutôt poser Z = 1/x^2 (inutile de s'embêter avec des constantes
> multiplicitatives). Puisque x-->0 alors Z-->+oo
> Ensuite, x = 1/sqrt(Z) donc lim(x-->0, f'(x) ) = lim(Z-->+oo, Z^3/2
> *exp(-Z) ) et cette limite est connue (et elle est finie !)
>

Bonjour

Merci pour vos réponses. Je ne suis pas en spé mais en 2ème année de deug SV.
Je ne sais pas ce qu'est sqrt ???
B.

[Anonyme]

B?n?dicte a écrit :
> Merci pour vos réponses. Je ne suis pas en spé mais en 2ème année de deug SV.
> Je ne sais pas ce qu'est sqrt ???
L'abbréviation pour "racine carrée". Ca vient de l'anglais "square root".

Bon courage pour la suite,
--
Gabriel Kerneis.

[Anonyme]

> Le DL que tu utilises suppose que Y --> 0 ce qui n'est visiblement pas le
> cas (Y tend vers -oo !!!) donc tu ne peux l'utiliser (le DL)
> Par contre, le changement de variable est convenable.
> Je vais plutôt poser Z = 1/x^2 (inutile de s'embêter avec des constantes
> multiplicitatives). Puisque x-->0 alors Z-->+oo
> Ensuite, x = 1/sqrt(Z) donc lim(x-->0, f'(x) ) = lim(Z-->+oo, Z^3/2
> *exp(-Z) ) et cette limite est connue (et elle est finie !)

Par contre j'ai encore un pb c'est que je n'arrive pas à retrouver la
dérivée sous la forme Z^3/2 * exp( -Z), c'est pourtant la formule u'*
exp(u) ? je dois me planter quand je dérive 1/x^2
Si vous pouviez m'expliquer, merci bq
B.