Prolongement continue

[Anonyme]

Bonjour,

On a f une fonction reelle continue sur R+, de carré sommable. On pose pour x>0
la fonction g(x)=(1/x)*int(f(t),t=0..x)

On demande de montrer que g admet un prolongement continu en 0.

Comme c'est la premiere questions d'un exo, j'avais des doute sur l'utilité de
l'integrabilité de f². Mais en prenant des exemples (1/(1+x) et 1/sqrt(1+x)) il
s'avere que cette hypothese est necessaire.
Il s'agit de montrer que g tend vers une limite finie lorsque x tend vers 0.
Comme on sait seulement que f est continue, tout ce que j'ai essayé
n'aboutissent pas au resultat.

Comment fait on?

merci

[Anonyme]

> On a f une fonction reelle continue sur R+, de carré sommable. On pose
pour x>0
> la fonction g(x)=(1/x)*int(f(t),t=0..x)
>
> On demande de montrer que g admet un prolongement continu en 0.

C'est le taux d'accroissement en 0 d'une primitive de f, qui tend donc vers
f(0).
Tu peux le remontrer en écrivant g(x)-f(0), avec f(0)=(1/x)int(f(t),
t=0..x).

--
Maxi

[Anonyme]

"Wenceslas" a écrit dans le message de news:
20040130144958.22762.00000657@mb-m19.aol.com...
> Bonjour,
>
> On a f une fonction reelle continue sur R+, de carré sommable. On pose
pour x>0
> la fonction g(x)=(1/x)*int(f(t),t=0..x)
>
> On demande de montrer que g admet un prolongement continu en 0.
>
> Comme c'est la premiere questions d'un exo, j'avais des doute sur
l'utilité de
> l'integrabilité de f². Mais en prenant des exemples (1/(1+x) et
1/sqrt(1+x)) il
> s'avere que cette hypothese est necessaire.
> Il s'agit de montrer que g tend vers une limite finie lorsque x tend vers
0.
> Comme on sait seulement que f est continue, tout ce que j'ai essayé
> n'aboutissent pas au resultat.

Le fait que f^2 soit intégrable sur R n'a aucune importance, puisque c'est
le comportement de g en 0 qui nous intéresse

Un simple raisonnement par epsilon traduisant la continuité de f en 0 permet
de montrer que g tend vers f(0) en 0