Produit Scalaire [1°S]

[Anonyme]

Bonjour, j'ai un exercice sur le produit scalaire a faire.En voici l'énoncé
:
Soit ABC un triangle. Soit A', B' et C' les milieux respectifs de [BC], [AC]
et [AB]

Calculer AB.CC' + BC.AA' + CA.BB' (les . représentent le produit scalaire
et il faut imaginer que y'a des flèches au dessus des lettres :p)

Après un rapide dévellopement j'obtiens le résultat suivant :

AB.CB - AB.1/2 AB + BC.AC - BC. 1/2 BC + CA.BA - CA.1/2 CA (je vous
conseille de faire une petite figure sur un brouillon pour voir a quoi ca
ressemble)

Mais je ne sais pas trop quoi faire ensuite. Je me demande si j'ai le droit
de dire que AB.1/2 AB = 1/2 AB² (tout ça avec des flèches au dessus des
lettres) et ainsi de suite avec les autres produits scalaires avec 1/2. Mais
je ne sais d'ailleurs pas trop à quoi ça m'avancerait.

Merci

[Anonyme]

Bonjour,

KaLiceOs a écrit :
> Bonjour, j'ai un exercice sur le produit scalaire a faire.En voici l'énoncé :
> Soit ABC un triangle. Soit A', B' et C' les milieux respectifs de [BC], [AC]
> et [AB]
>
> Calculer AB.CC' + BC.AA' + CA.BB' (les . représentent le produit scalaire et
> il faut imaginer que y'a des flèches au dessus des lettres :p)
>
> Après un rapide dévellopement j'obtiens le résultat suivant :
>
> AB.CB - AB.1/2 AB + BC.AC - BC. 1/2 BC + CA.BA - CA.1/2 CA

OK avec quelques parenthèses : AB.(AB/2) etc...

>
> Mais je ne sais pas trop quoi faire ensuite. Je me demande si j'ai le droit
> de dire que AB.1/2 AB = 1/2 AB² (tout ça avec des flèches au dessus des
> lettres)

ou encore AB.(AB/2) = 1/2 |AB|² (carré du module)

> et ainsi de suite avec les autres produits scalaires avec 1/2. Mais
> je ne sais d'ailleurs pas trop à quoi ça m'avancerait.

Eliminer les vecteurs ainsi semble effectivement conduire à une
impasse.
Plutôt essayer de factoriser pour obtenir des choses du genre :

AB.(CB + BC) qui vaut 0
et simplifier ainsi l'expression.

Un bon point de départ est d'écrire CC' = (CA+CB)/2
plutôt que CC' = CB - (AB/2)

Amicalement.

--
philippe
(chephip at free dot fr)