Produit scalaire

[Anonyme]

Bonjour,petit probleme de math
EXERCICE 1
---------------
1.Montrer qu'un triangle isocele a deux medianes de meme longueur.
2.la reciproque est -elle vrai

Exercice 2
------------
ABCD est un carré. I,J et K sont definis par
AI=1/4AB BJ=1/4BC CK=1/4CD
Ceux sont des vecteurs..

1/ indiquer avec precision 3 methodes permettant de demontrer que les
droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires.
2/Proposer une demonstration utilisant une de ces methodes.

EXERCICE 1
---------------->>>>
soit 1 tr ABC isocele en B
avec I milieu de BC
et I' milieu de AB

on a AB²+AC² = 2AI²+1/2BC²

et CB²+CA² = 2CI'+1/2AB²

or AB²+AC²=CB²+CA² donc un tr iso a 2 medianes de meme longueur

2. la reciproque n'est pas vrai car ca peut aussi etre un triangle
equilateral...


EXERCICE2
------------->>>>>>>>>>>
1. 3 formules : AB.AC=1/2(AB²+AC²-BC²)
AB.AC=AB.AH(H projeté orthogonal sur AB)
ou bien par la formule de la mediane..

2.je n'arrive pas a remplacer les termes des formules, donc je n'arrive pas
a faire la demonstration


Quelqu'un peut-il me dire si l'exo 1 est juste
et m'aider pour le 2

[Anonyme]

Pierre Buttafoghi a écrit:
> Bonjour,petit probleme de math
....
>
> EXERCICE 1
> ---------------->>>>
> soit 1 tr ABC isocele en B
> avec I milieu de BC
> et I' milieu de AB
>
> on a AB²+AC² = 2AI²+1/2BC²
>
> et CB²+CA² = 2CI'+1/2AB²
>
> or AB²+AC²=CB²+CA² donc un tr iso a 2 medianes de meme longueur
>
> 2. la reciproque n'est pas vrai car ca peut aussi etre un triangle
> equilateral...

Pas glop : s'il est équilatéral, il est isocèle...

>
> EXERCICE2
> ------------->>>>>>>>>>>
> 1. 3 formules : AB.AC=1/2(AB²+AC²-BC²)
> AB.AC=AB.AH(H projeté orthogonal sur AB)
> ou bien par la formule de la mediane..
>
> 2.je n'arrive pas a remplacer les termes des formules, donc je n'arrive pas
> a faire la demonstration
>
>
> Quelqu'un peut-il me dire si l'exo 1 est juste
> et m'aider pour le 2

Exercice 2
------------
ABCD est un carré. I,J et K sont definis par
AI=1/4AB BJ=1/4BC CK=1/4CD
Ce sont des vecteurs..

1/ indiquer avec precision 3 methodes permettant de demontrer que les
droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires.
a) chercher a montrer que IJK est isocéle rectangle
b) chercher à montrer que le cercle de diamètre IK passe par J
c) placer le quatriéme point L tel que DL=1/4 DA : IJKL est un carré
2/Proposer une demonstration utilisant une de ces methodes.
Par exemple la a) : prenons pour unité le 1/4 du côté du carré ABCD.
dans IBJ rectangle (Pythagore) IJ^2=9 +1 = 10 et dans JKC rectangle,
JK^2 = 9 + 1 =10. Si M est le point de CD tel que CM=1/4 CD, alors dans
IMK rectangle eon obtient IK^2=16+4=20 ; donc IK^2=IJ^2+JK^2 ce qui
implique par la réciproque de Pythagore que IJK est rectangle en J.

J'eqça

[Anonyme]

Pierre Buttafoghi wrote:
> Bonjour,petit probleme de math

Bonjour, pourrais-tu indiquer de quel niveau doivent être les réponses.

> EXERCICE 1
> ---------------
> 1.Montrer qu'un triangle isocele a deux medianes de meme longueur.
> 2.la reciproque est -elle vrai
>
> Exercice 2
> ------------
> ABCD est un carré. I,J et K sont definis par
> AI=1/4AB BJ=1/4BC CK=1/4CD
> Ceux sont des vecteurs..
>
> 1/ indiquer avec precision 3 methodes permettant de demontrer que les
> droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires.
> 2/Proposer une demonstration utilisant une de ces methodes.
>
> EXERCICE 1
> ---------------->>>>
> soit 1 tr ABC isocele en B
> avec I milieu de BC
> et I' milieu de AB
>
> on a AB²+AC² = 2AI²+1/2BC²
>
> et CB²+CA² = 2CI'+1/2AB²
>
> or AB²+AC²=CB²+CA² donc un tr iso a 2 medianes de meme longueur

Tiens, je ne connaissais pas ces formules. J'aurais proposé un argument
de symétrie : la symétrie d'axe la médiatrice/médiane/hauteur de [AC]
applique A sur C et B sur B, donc I sur I' => AI = CI'.

> 2. la reciproque n'est pas vrai car ca peut aussi etre un triangle
> equilateral...

Pas glop, comme dit Paul. D'autant que ça me semble carrément être vrai.

Partons comme ça : A, C, I et I' quatre points tels que AI = CI' et [AI]
intersecte [CI'] en M. Comme ces segments doivent jour le rôle des
médianes, supposons encore que MI = AI/3 = CI4/3 = MI'. Voilà une
situation encore bien symétrique (axe : médiatrice de [AC] ou de [II'],
c'est la même). Et on a bien un triangle isocèle.

>
> EXERCICE2
> ------------->>>>>>>>>>>
> 1. 3 formules : AB.AC=1/2(AB²+AC²-BC²)
> AB.AC=AB.AH(H projeté orthogonal sur AB)
> ou bien par la formule de la mediane..
>
> 2.je n'arrive pas a remplacer les termes des formules, donc je n'arrive pas
> a faire la demonstration

Suggestion : triangles isométriques.
Autre suggestion : écrire IJ-> et JK-> en fonction de A, B, C et D et
calculer le produit scalaire.

Hib.

[Anonyme]

Le Sun, 27 Feb 2005 19:16:27 +0100, "Pierre Buttafoghi"
a écrit :


>2.la reciproque est -elle vrai

suppose que AI=BJ et repart à l'envers... en triturant l'ensemble tu
vas arriver surement à un moment à : BC²=AB² et donc à BC=AB donc
vrai.

>Exercice 2
>------------
>ABCD est un carré. I,J et K sont definis par
>AI=1/4AB BJ=1/4BC CK=1/4CD
>Ceux sont des vecteurs..
>
>1/ indiquer avec precision 3 methodes permettant de demontrer que les
>droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires.

1) en prenant un repère du plan: par exemple (D,DC, DA) (en vecteurs)
puis produit des pentes des droites (IJ) et (JK) = -1

2) produit scalaire IJ.JK = 0 (utiliser les propriétés du produits
scalaire en exprimant tout en fonction de AB et BC par exemple... ) ne
pas oublier que AB.BC= 0

3) en utilisant une rotation d'angle pi/2 et de centre O le centre du
carré... l'image de (IJ) est (KJ)



veux tu des précisions?

[Anonyme]

Merci beaucoup pour vos precisons....
Elles m'ont été bien utiles



"Laurent" a écrit dans le message news:
qu6421lulblc65m3imqhnrfbjidl68ctji@4ax.com...
> Le Sun, 27 Feb 2005 19:16:27 +0100, "Pierre Buttafoghi"
> a écrit :
>
>[color=green]
> >2.la reciproque est -elle vrai
>
> suppose que AI=BJ et repart à l'envers... en triturant l'ensemble tu
> vas arriver surement à un moment à : BC²=AB² et donc à BC=AB donc
> vrai.
>
> >Exercice 2
> >------------
> >ABCD est un carré. I,J et K sont definis par
> >AI=1/4AB BJ=1/4BC CK=1/4CD
> >Ceux sont des vecteurs..
> >
> >1/ indiquer avec precision 3 methodes permettant de demontrer que les
> >droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires.
>
> 1) en prenant un repère du plan: par exemple (D,DC, DA) (en vecteurs)
> puis produit des pentes des droites (IJ) et (JK) = -1
>
> 2) produit scalaire IJ.JK = 0 (utiliser les propriétés du produits
> scalaire en exprimant tout en fonction de AB et BC par exemple... ) ne
> pas oublier que AB.BC= 0
>
> 3) en utilisant une rotation d'angle pi/2 et de centre O le centre du
> carré... l'image de (IJ) est (KJ)
>
>
>
> veux tu des précisions?[/color]