Produit scalaire de fonctions / DSP

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai un doute concernant le produit scalaire de deux fonctions.
La plupart des sources le définissent comme l'intégrale du produit de la
première fonction, par le conjugué d ela seconde, les bornes étant plus et
moins l'infini.
Or, j'ai un livre d'analyse (Thuillier/Belloc), qui dit que le produit
scalaire est cette même intégrale, mais divisée par l'intervalle
d'intégration. Mais les bornes semblent alors finies, (c'est le chapitre sur
les séries de Fourier).

Le soucis est que je cherche à démontrer une relation comportant une
ribambelle de produits de sinus et de cosinus, et que pour simplifier tout
ça, je dois utiliser le fait que le sinus et le cosinus forment une base
orthogonale.
Si je n'ai guère de mal à montrer que le produit scalaire de ces sinus et
cosinus fait en général 0, je suis déjà plus ennuyé quand le produit
scalaire à lieu entre deux exemplaire d'une même fonction.

Par exemple, prenons le produit scalaire de sinus(t) et de... sinus(t).
Si je ne divise pas par l'intervalle d'intégration, je trouve l'infini, mais
si je divise par l'intervalle d'intégration, je trouve 1, ce qui me paraît
ma foi plutôt logique pour pour une fonction de base.

Vous allez me dire, si je divise par l'intervalle d'intégration, qui est
infini, j'obtiendrai toujours 0...
Mais si je prend une très grande valeur finie (par exemple, 100000),
j'obtiens bien 1.

La conclusion à laquelle j'arrive est la suivante:
- si la fonction est quelconque, on intègre sans diviser par l'intervalle
d'intégration, et les bornes d'intégration sont plus ou moins l'infini
- si la fonction est périodique, on divise l'intégrale par la période, et
l'intervalle d'intégration est égal à la période de la fonction

Quelqu'un pourrait-il confirmer ?
Merci.

[Anonyme]

Le Sat, 29 Nov 2003 04:05:46 +0100,
Oodini grava à la saucisse et au marteau:

> La conclusion à laquelle j'arrive est la suivante:
> - si la fonction est quelconque, on intègre sans diviser par l'intervalle
> d'intégration, et les bornes d'intégration sont plus ou moins l'infini
> - si la fonction est périodique, on divise l'intégrale par la période, et
> l'intervalle d'intégration est égal à la période de la fonction
>
> Quelqu'un pourrait-il confirmer ?
> Merci.

Ca dépend de l'espace de fonctions que tu considères. Normalement, on
considère le produit scalaire sur un intervalle de R, que tu peux
diviser ou non par la largeur de l'intervalle (dans les 2 cas, c'est une
norme). Ce produit scalaire est défini dans l'espace de toutes les
fonctions (enfin, bornées sur l'intervalle quand même).

Maintenant, tu peux considérer l'espace des fonctions intégrables. Dans
ce cas-là, tu peux définir comme produit scalaire l'intégrale sur R tout
entier.

Les fonctions sinus et cosinus n'étant pas intégrables, on est dans le
premier cas. Maintenant, l'intervalle précis sur lequel est défini le
produit scalaire devrait être défini dans ton énoncé.

--
Nicolas